3.1.1数系的扩充和复数的概念[课时作业][A组基础巩固]1．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为()A．－2B.C．－D．2解析：2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，∴b＝2.答案：D2．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：直接法．∵a＋＝a－bi为纯虚数，∴必有a＝0，b≠0，而ab＝0时有a＝0或b＝0，∴由a＝0，b≠0⇒ab＝0，反之不成立．∴“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．答案：B3．已知复数z＝＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为()A．1或－1B．1C．－1D．0或－1解析：因为复数z＝＋(a2－1)i是实数，且a为实数，则解得a＝－1.答案：C4．设a，b为实数，若复数1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i，则()A．a＝，b＝B．a＝3，b＝1C．a＝，b＝D．a＝1，b＝3解析：由1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i可得解得a＝，b＝.答案：A5．已知集合M＝{1，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{1,3}，M∩N＝{1,3}，则实数m的为()A．4B．－1C．4或－1D．1或6解析：由题意解得m＝－1.答案：B6．已知＝(x2－2x－3)i(x∈R)，则x＝________.解析：∵x∈R，∴∈R，由复数相等的条件得：解得x＝3.答案：37．设x，y∈R，且满足(x＋y)＋(x－2y)i＝(－x－3)＋(y－19)i，则x＋y＝________.解析：因为x，y∈R，所以利用两复数相等的条件有解得所以x＋y＝1.答案：118．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.解析：复数m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数的充要条件是解得即m＝－2.故m＝－2时，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数．答案：－29．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时，(1)z是实数；(2)z是纯虚数．解析：(1)要使复数z为实数，需满足解得m＝－2或－1.即当m＝－2或－1时，z是实数．(2)要使复数z为纯虚数，需满足解得m＝3.即当m＝3时，z是纯虚数．10．已知集合M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．解析：因为M∪P＝P，所以M⊆P，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得解得m＝1；由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得解得m＝2.综上可知m＝1或m＝2.[B组能力提升]1．已知复数z1＝a＋bi(a，b∈R)的实部为2，虚部为1，复数z2＝(x－1)＋(2x－y)i(x，y∈R)．当z1＝z2时x，y的值分别为()A．x＝3且y＝5B．x＝3且y＝0C．x＝2且y＝0D．x＝2且y＝5解析：易知z1＝2＋i由z1＝z2，即2＋i＝(x－1)＋(2x－y)i(x，y∈R)∴解得x＝3且y＝5.答案：A2．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是()A．|a|＝|b|B．a<0且a＝－bC．a>0且a≠bD．a>0且a＝±b解析：z为纯虚数∴a＋|a|≠0且a2－b2＝0因此得a>0且a＝±b.答案：D3．已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实根，则实数m的值是________．解析：设x＝a为方程的一个实根则有a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0.因为a，m∈R，由复数相等的充要条件有解得答案：4．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2,则a的值为________．解析：由z1>z2，得2即解得a＝0.答案：05．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，求λ的取值范围．解析：由z1＝z2，即m＋(4－m2)i＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(λ，m∈R)得消去m得λ＝4－4cos2θ－3sinθ＝4sin2θ－3sinθ＝4(sinθ－)2－由于－1≤sinθ≤1.故－≤λ≤7，即λ的取值范围为.6．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝(x，y∈R)，求复数z＝x2＋yi.解析：由定义运算＝ad－bc＝3x＋2y＋yi，故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.因为x，y为实数，所以有得解之得x＝－1，y＝2因此z＝x2＋yi＝1＋2i.3
