2018高考数学异构异模复习考案第二章函数的概念及其基本性质2.3.1函数的奇偶性撬题文1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A．y＝cosxB．y＝sinxC．y＝lnxD．y＝x2＋1答案A解析y＝cosx是偶函数且有无数多个零点，y＝sinx为奇函数，y＝lnx既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，故选A.2．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为()A．(－∞，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1，＋∞)答案C解析f(－x)＝＝，由f(－x)＝－f(x)得＝－，即1－a·2x＝－2x＋a，化简得a·(1＋2x)＝1＋2x，所以a＝1，f(x)＝.由f(x)>3得0
0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．答案(－5,0)∪(5，＋∞)解析∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.又当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝x2＋4x.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x2－4x(x<0)，∴f(x)＝①当x>0时，由f(x)>x得x2－4x>x，解得x>5；②当x＝0时，f(x)>x无解；③当x<0时，由f(x)>x得－x2－4x>x，解得－5x的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．8．已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．(1)证明：f(x)是R上的偶函数；(2)若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；(3)已知正数a满足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)0)，则t>1，所以m≤－＝－对任意t>1成立．因为t－1＋＋1≥2＋1＝3，所以－≥－，当且仅当t＝2，即x＝ln2时等号成立．因此实数m的取值范围是.(3)令函数g(x)＝ex＋－a(－x3＋3x)，则g′(x)＝ex－＋3a(x2－1)．当x≥1时，ex－>0，x2－1≥0，又a>0，故g′(x)>0，所以g(x)是[1，＋∞)上的单调增函数，因此g(x)在[1，＋∞)上的最小值是g(1)＝e＋e－1－2a.由于存在x0∈[1，＋∞)，使ex0＋e－x0－a(－x＋3x0)<0成立，当且仅当最小值g(1)<0，故e＋e－1－2a<0，即a>.令函数h(x)＝x－(e－1)lnx－1，则h′(x)＝1－.令h′(x)＝0，得x＝e－1.当x∈(0，e－1)时，h′(x)<0，故h(x)是(0，e－1)上的单调减函数；当x∈(e－1，＋∞)时，h′(x)>0，故h(x)是(e－1，＋∞)上的单调增函数．所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值是h(e－1)．注意到h(1)＝h(e)＝0，所以当x∈(1，e－1)⊆(0，e－1)时，h(e－1)≤h(x)h(e)＝0，即a－1>(e－1)lna，故ea－1>ae－1.综上所述，当a∈时，ea－1ae－1.
