第2章圆锥曲线与方程滚动训练(二)一、填空题1.若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的左焦点的坐标为________.考点双曲线的标准方程题点求双曲线焦点答案解析 双曲线方程可化为x2－＝1，∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝，c＝.2.已知命题p：1≤x≤4，命题q：x2－4x＋3>0，则p是綈q的____________条件.考点充分条件、必要条件、充要条件的判断题点逻辑联结词和充分条件、必要条件、充要条件的判断答案必要不充分解析由x2－4x＋3>0，解得x<1或x>3，所以綈q：1≤x≤3，则綈q⇒p，但是p⇏綈q，所以p是綈q的必要不充分条件.3.已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为________.考点双曲线的几何性质题点求双曲线方程答案－＝1解析由已知可得双曲线的焦距2c＝10，a2＋b2＝52＝25，又由一条渐近线方程为y＝x＝x，得＝，解得a2＝20，b2＝5.4.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为________.考点椭圆的几何性质题点求椭圆方程答案＋＝1解析设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，将点(－5,4)代入得＋＝1.又离心率e＝＝，即e2＝＝＝，解得a2＝45，b2＝36，故椭圆的方程为＋＝1.5.下列命题中：1①“∃x∈R，x2－x＋1≤0”的否定；②“若x2＋x－6≥0，则x>2”的否命题；③命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题.其中真命题的个数是________.考点命题题点命题的否定、否命题、逆否命题答案2解析“∃x∈R，x2－x＋1≤0”的否定为“∀x∈R，x2－x＋1＝2＋>0”为真命题；“若x2＋x－6≥0，则x>2”的否命题为“若x2＋x－6<0⇒－30，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________.考点双曲线的几何性质题点求双曲线方程答案－＝1解析椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，离心率e＝.由于双曲线－＝1与椭圆＋＝1有相同的焦点，因此a2＋b2＝7.又双曲线的离心率e＝＝，所以＝，所以a＝2，b2＝c2－a2＝3，故双曲线的方程为－＝1.7.设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足PA＝PB，则该双曲线的离心率是________.考点双曲线的几何性质题点求双曲线离心率答案解析联立直线方程x－3y＋m＝0与双曲线渐近线方程y＝±x可得交点坐标为，，而kAB＝，由PA＝PB，可得AB的中点与点P连线的斜率为－3，即＝－3，化简得4b2＝a2，所以e＝＝.8.已知椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，A，B分别是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若＝，则椭圆的离心率为________.考点椭圆的几何性质题点求椭圆的离心率答案解析设M(x0，y0)，则N(x0，－y0).|k1k2|＝＝＝＝＝，可得3a2＝4c2，从而e＝＝.9.已知F1，F2为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则AP＋AF2的最小值为________.考点双曲线的标准方程2题点求双曲线方程中的最值问题答案－2解析由题意知，AP＋AF2＝AP＋AF1－2a，要求AP＋AF2的最小值，只需求AP＋AF1的最小值，当A，P，F1三点共线时，取得最小值，则AP＋AF1＝PF1＝，∴AP＋AF2＝AP＋AF1－2a＝－2.10.设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足PF1·PF2＝0，则＝________.考点圆锥曲线的几何性质题点求圆锥曲线离心率答案2解析设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，F1F2＝2c，由题意得PF1＋PF2＝2a1，PF1－PF2＝2a2，所以PF＋PF＝2a＋2a.又因为PF1·PF2＝0，所以PF1⊥PF2.所以PF＋PF＝F1F，即2a＋2a＝4c2.所以2＋2＝2，即＋＝2，即＝2.二、解答题11.已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长.考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的位置关系解双曲线方程可化为－＝1，故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4，∴c＝2，∴F2(2,0)， 直线l的斜率k＝tan45°＝1，∴直线l的方程为y＝x－2，代入双曲线方程，得2x2＋4x...
