高二数学（理）函数最值、导数应用题（理）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：函数最值、导数应用题二.重点、难点：1.闭区间上的连续函数必有最值。2.，求的值最大的为最大值，最小的为最小值。3.应用问题（1）选定自变量x（2）选定函数值y（3）建立函数关系（4）确定函数的定义域（5）用导数求最值【典型例题】[例1]求下列函数最值。（1）解：（舍）∴（2）解：∴（3）∴∴[例2]，函数，，求。解：∴∴[例3]，，求解：（1）∴（2）∴或－31[例4]已知a为实数，，（1）求导数；（2）若，求f（x）在[－2，2]上的最大值和最小值；（3）若f（x）在（－∞，－2）和上都是增函数，求a的取值范围。解：（1）因为所以（2）由，得，此时有所以，由，得或，又因为，所以在[－2，2]上的最大值为，最小值为（3） 的图象为开口向上且过点（0，－4）的抛物线由条件得，即，解得，所以a的取值范围为[-2,2][例5]已知函数在与x=1时都取得极值。（1）求a，b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对时，不等式恒成立，求c的取值范围。解：（1） ∴由，得 ∴当变化时，的变化情况如下表：x（－∞，）（，1）1（1，+∞）+0－0+f（x）↑极大值↓极小值↑∴函数f（x）的递增区间是（－∞，）和（1，+∞）；递减区间是（，1）（2） 又 ，∴为最大值，要使在恒成立只需，解得或[例6]已知函数的图象在点M（）处的切线方程为（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间。解：（1） ∴又 函数的图象在点M（）处的切线方程为∴，即解得（ 舍去）∴所求函数解析式为（2） ∴令，解得当或时，当时，∴在（）和（）内是减函数，在（，）内是增函数[例7]设函数，其中。（1）若在x=3处取得极值，求常数a的值；（2）若f（x）在（－∞，0）上为增函数，求a的取值范围。解：（1） 在取得极值∴，解得经检验知时，x=3为f（x）为极值点（2）令得当时，若，则在和上为增函数，故当时，在（－∞，0）上为增函数当时，若，则∴在（）和（）上为增函数，从而当时，在上也为增函数综上所述，当时，在（－∞，0）上为增函数[例8]，求证：证：令x（0，1）1（1，+∞）－0+y↓↑∴∴，恒成立∴[例9]求抛物线上与点A（6，0）距离最近的点。解：设M（x，y）为抛物线上一点，则 与2同时取到极值∴令由得 当或时，→+∞∴f（x）→+∞∴x=2是f（x）的最小值点，此时x=2，y=2，即抛物线上与点A（6，0）距离最近的点是（2，2）[例10]请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如下图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为xm，则1
