第27课时基本不等式的应用知识点一用基本不等式求最值1．若点(a，b)在直线x＋2y＝3上移动，则2a＋4b的最小值是()A．8B．6C．4D．3答案C解析点(a，b)在直线x＋2y＝3上，则a＋2b＝3，所以2a＋4b＝2a＋22b≥2＝2＝4，当且仅当a＝2b＝时等号成立．故选C．2．下列各式中最小值等于2的是()A．＋B．x＋(x≥4)C．x2＋x＋3D．3x＋3－x答案D解析A不正确，例如x，a的符号相反时，式子的最小值不可能等于2．B不正确， y＝x＋在[4，＋∞)上递增，它的最小值是4＋＝．C不正确， x2＋x＋3＝x＋2＋≥，故最小值不是2．3x＋3－x≥2＝2(当且仅当3x＝3－x，即x＝0时等号成立)．故选D．3．已知m＞0，n＞0，m＋n＝1且x＝m＋，y＝n＋，则x＋y的最小值是()A．4B．5C．8D．10答案B解析依题意有x＋y＝m＋n＋＋＝1＋＋＝3＋＋≥3＋2＝5，当且仅当m＝n＝时取等号．故选B．4．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A．B．C．D．答案B解析由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立．5．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为()A．16B．25C．9D．36答案B解析(1＋x)(1＋y)≤2＝2＝2＝25，因此当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25．故选B．知识点二基本不等式的实际应用6．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为()A．200件B．5000件C．2500件D．1000件答案D解析设进货n次，则每次的进货量为，一年的运费和租金为y元．1根据题意得y＝100n＋≥2000，当且仅当n＝10时取等号，此时每次进货量应为1000件．故选D．7．如图，公园想建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x米墙，(1)求x的取值范围；(2)求最少需要多少米铁丝网(精确到0．1米)．解(1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x米，则另一边长为米，则矩形草地所需铁丝网长度为y＝x＋2×．令y＝x＋2×≤44(x＞0)，解得8≤x≤36．则x的取值范围是[8，36]．(2)由基本不等式，得y＝x＋≥24．当且仅当x＝，即x≈17．0时，等号成立，则y最小值＝24≈34．0．即最少需要约34．0米铁丝网．易错点忽略等号成立的一致性8．已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，求＋的最小值．易错分析易错解为＋＝(x＋2y)≥2·2＝4．在求解过程中使用了两次基本不等式：x＋2y≥2，＋≥2，但这两次取“＝”需满足x＝2y与x＝y，自相矛盾，所以“＝”取不到．解x＋2y＝1，x＞0，y＞0，∴＋＝(x＋2y)＝3＋＋≥3＋2当且仅当＝，即x＝y时，取“＝”． x＋2y＝1，∴∴当且仅当x＝－1，y＝1－时，＋有最小值，为3＋2．一、选择题1．已知x，y是正数，且xy＝4，则＋取得最小值时，x的值是()A．1B．2C．2D．答案B解析＋≥2＝2＝2，当且仅当＝，即x＝y＝2时取得最小值．故选B．2．下列函数中，最小值为2的是()A．y＝＋B．y＝lgx＋(1＜x＜10)C．y＝2x＋2－x(x∈R)D．y＝sinx＋0＜x＜答案C解析利用基本不等式，注意“一正、二定、三相等”．＋≥2，当且仅当＝，即x2＋2＝12时，等号成立，但x2＋2≥2＞1显然不成立，∴A不正确；lgx＋≥2，当且仅当lgx＝，即x＝10或时，等号成立，而1＜x＜10，故等号不成立，∴B不正确；2x＋2－x≥2，当且仅当2x＝2－x，即x＝0时取等号，∴C正确；sinx＋≥2，当且仅当sinx＝±1时取等号，而0＜x＜，等号不成立，∴D不正确．3．函数f(x)＝的最大值为()A．B．C．D．1答案B解析令t＝(t≥0)，则x＝t2，∴f(x)＝＝．当t＝0时，f(x)＝0；当t＞0时，f(x)＝＝． t＋≥2，∴0＜≤．∴f(x)的最大值为．4．设M是△ABC内一点，且AB·AC＝2，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，则＋的最小值为()A．8B．9C．16D．18答案D解析由条件可得|AB||AC|＝4，设△ABC的面积为S，则S＝|AB||AC|sin∠BAC＝1， S△MBC＝，∴x＋y＝，故＋＝2(x＋y)·＝2≥18，当且仅当x＝，y＝时等号成立．故选D．5．设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是()A．1B．2C．3D．...
