第一课时椭圆的简单几何性质课时跟踪检测一、选择题1．短轴长等于8，离心率等于的椭圆的标准方程为()A.＋＝1B.＋＝1或＋＝1C.＋＝1D.＋＝1或＋＝1解析： 离心率e＝，短轴长为8，∴＝，b＝4，又a2－b2＝c2，解得a2＝25，b2＝16.∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.答案：D2．(2019·开封模拟)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是()A.＋＝1B．＋＝1C.＋y2＝1D．＋＝1解析：由圆C：x2＋y2－2x－15＝0，得(x－1)2＋y2＝16，∴圆C的半径r＝4，∴2a＝4，a＝2.又e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.又焦点在x轴上，∴椭圆的标准方程为＋＝1.答案：A3．以椭圆＋＝1的短轴顶点为焦点，离心率e＝的椭圆的标准方程为()A.＋＝1B．＋＝1C.＋＝1D．＋＝1解析：由题意得，所求椭圆中c＝3，e＝＝，a＝6，b2＝36－9＝27，焦点在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.答案：A4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为()A.B．C.D．解析：由题意知，以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，∴＝，∴e＝＝＝＝＝.答案：A5．我们把离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设F1，F2是“优美椭圆”C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，则椭圆C上满足∠F1PF2＝90°的点P的个数为()A．0B．1C．2D．4解析：如图所示，在Rt△OF1B中，|F1B|＝a，|OF1|＝c，则sin∠F1BO＝＝＝<，1∴∠F1BO<45°，∴∠F1BF2<90°.又 ∠F1PF2≤∠F1BF2，∴满足∠F1PF2＝90°的点P不存在．答案：A6．(2018·吉林实验中学模拟)已知焦点在x轴上的椭圆标准方程为＋y2＝1(a>0)，过焦点F作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为()A.B．C.D．解析： 椭圆＋y2＝1的焦点在x轴上，∴焦点坐标为(±，0)．由题意，得＋y2＝1，∴y＝±. |AB|＝1，∴＝1，∴a＝2，∴c＝＝，∴离心率e＝＝.答案：A二、填空题7．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且PF1·PF2＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．解析：设P(x，y)，则PF1＝(x＋c，y)，PF2＝(x－c，y)，∴PF1·PF2＝x2－c2＋y2＝c2，即x2＋y2＝2c2，即椭圆上存在点P，使得|PO|＝c，又|PO|∈[b，a]∴b≤c≤a，b2≤2c2≤a2，由a2－c2≤2c2，得e≥，由2c2≤a2，e2≤，∴e≤，∴e∈，.答案：，8．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆短轴的端点，且∠F1PF2＝90°，则该椭圆的离心率为________．解析：由题，可知|OP|＝|OF2|，∴b＝c，∴a2＝2c2，∴e2＝，即e＝.答案：9．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为椭圆C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．解析：设M(m，n)，m，n＞0，椭圆C：＋＝1的a＝6，b＝2，c＝4，e＝＝，由M为椭圆C上一点且在第一象限，得|MF1|＞|MF2|.又△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，即有6＋m＝8，即m＝3，n＝，或6－m＝8，即m＝－3＜0，舍去．综上，M(3，)．答案：(3，)三、解答题10．已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e＝，且过点P(2,3)，求此椭圆的标准方程．解：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意得解得a2＝40，b2＝10，故所求椭圆的标准方程为＋＝1；2②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意得解得a2＝25，b2＝，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.11．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点坐标为(0，)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设P为椭圆上一点，A为椭圆左顶点，F为椭圆右焦点，求PA·PF的取值范围．解：(1)由题意，得解得∴椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由(1)得，A(－2,0)，F(1,0)，设P(x，y)，则PA＝(－2－x，－y)，PF＝(1－x，－y)，∴PA·PF＝(－2－x)(1－x)＋y2＝x2＋x－2＋3－x2＝x2＋x＋1＝(x＋2)2(－2≤x≤2)．∴PA·PF∈[0,4]．12．在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的...
