高中数学 第二章 数列 专题2.3 等差数列的前n项和试题 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP免费

2.3等差数列的前n项和1．数列前n项和的概念一般地，我们称______________为数列{}na的前n项和，用nS表示，即12nSaa3naaL．由此易得na与nS的关系为1,1________,2nSnan．2．等差数列的前n项和公式首项为1a，末项为na，项数为n的等差数列{}na的前n项和为=_________nS，或1(1)=2nnnSnad．3．等差数列前n项和公式的函数特性在等差数列{}na中，211(1)=()222nnnddSnadnan．令2dp，12dqa，可得=_________nS，则（1）当0p，即0d时，nS是关于n的二次函数，点(,)nnS是二次函数2=ypxqx图象上一系列孤立的点；（2）当0p，即0d时，nS是关于n的一次函数(0q，即10)a或常函数(0q，即10)a，点(,)nnS是直线=yqx图象上一系列孤立的点．4．等差数列前n项和的性质利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质：设等差数列{}na（公差为d）和{}nb的前n项和分别为,nnST，1（1）11()()=22nmnmnnaanaaS．（2）若数列{}na共有21n项，则21=(21)nnSna，SS奇偶na，(1SnSSn奇奇偶,(1))nnnaSna偶；若数列{}na共有2n项，则SSnd奇偶，1nnSaSa奇偶．（3）2121nnnnaSbT，mnab21212121mnSnmT．（4）232(1),,,,,kkkkkmkmkSSSSSSSLL构成公差为2kd的等差数列．（5）()()nmmnmnmnSSSSSmndnm．特别地，当()mnSSmn时，0mnS；当mSn，nSm()mn时，()mnSmn．K知识参考答案：1．123naaaaL1nnSS2．1()2nnaa3．2pnqnK—重点等差数列的前n项和公式的应用、基本量的计算K—难点等差数列的前n项和的性质及应用、数列求和问题K—易错解决Sn的最值问题时应注意等差数列中为0的项由前n项和nS求通项公式na2（1）已知nS求通项公式na：利用11,1,2nnnSnaSSn即可求解；（2）已知nS与na之间的关系求na：由关系式消去nS，建立na与1(na或1)na之间的关系求na；或由关系式消去na，建立nS与1nS之间的关系求nS，进而求na．已知数列{}na的前n项和为nS，若22nnS，则数列{}na的通项公式na____________．【答案】10,12,2nnnan．【解析】当1n时，111220aS；当2n时，1(22)nnnnaSS11(22)2nn，而11210，故数列{}na的通项公式为10,12,2nnnan．已知数列{}na的前n项和为nS，若111,nnnaaSS，求证：1{}nS是等差数列，并求na．【答案】证明见解析，1,11,2(1)nnannn．【解析】当2n时，1nnnaSS，由1nnnaSS，可得11nnnnSSSS，因为0nS，两边同时除以1nnSS可得1111nnSS，所以数列1{}nS是等差数列．因为11a，111S，所以1nnS，即1nSn．3当2n时，11111(1)nnnaSSnnnn，故1,11,2(1)nnannn．【名师点睛】利用关系式1nnnaSS解题时务必要注意2n的条件．等差数列前n项和的基本量计算在等差数列问题中共涉及五个量：a1，d，n，an及Sn，利用等差数列的通项公式及前n项和公式即可“知三求二”，其解题通法可以概括为：设出基本量(a1，d)，构建方程组．因此利用方程思想求出基本量(a1，d)是解决等差数列问题的基本途径．在等差数列{}na中，（1）若6=20a，510S，则8a____________；（2）若3712aa，则9S____________；（3）若1239aaa，21222339aaa，则23S____________．【答案】（1）32；（2）54；（3）184．【解析】（1）方法1：因为6=20a，510S，所以1152051010adad，解得1106ad，所以862201232aad．方法2：因为166566()1020302aaSSa，所以13(20)30a，即110a，所以6120(10)6615aad，所以862201232aad．（2）方法1：因为37112612aaadad，所以146ad，所以91119899369(4)96542Sadadad．4方法2：因为371912aaaa，所以1999()9125422aaS．（3）根据已知条件利用等差中项可得23a...