技法强化训练(四)转化与化归思想(对应学生用书第162页)题组1正与反的相互转化1．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()A.B.C.D.D[甲或乙被录用的对立面是甲、乙均不被录用，故所求事件的概率为1－＝.]2．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c，使得f(c)＞0，则实数p的取值范围为________.【导学号：68334023】[如果在[－1,1]内没有值满足f(c)＞0，则⇒⇒p≤－3或p≥，取补集为－3＜p＜，即为满足条件的p的取值范围．故实数p的取值范围为.]3．若椭圆＋y2＝a2(a＞0)与连接两点A(1,2)，B(3,4)的线段没有公共点，则实数a的取值范围为________．∪[易知线段AB的方程为y＝x＋1，x∈[1,3]，由得a2＝x2＋2x＋1，x∈[1,3]，∴≤a2≤.又a＞0，∴≤a≤.故当椭圆与线段AB没有公共点时，实数a的取值范围为∪.]4．已知点A(1,1)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|＋|AF2|＝4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B是椭圆上任意一点，当|AB|最大时，求证：A，B两点关于原点O不对称．[解](1)由椭圆定义，知2a＝4，所以a＝2.所以＋＝1.2分把A(1,1)代入，得＋＝1，得b2＝，所以椭圆方程为＋＝1.4分所以c2＝a2－b2＝4－＝，即c＝.故两焦点坐标为，.6分(2)反证法：假设A，B两点关于原点O对称，则B点坐标为(－1，－1)，7分此时|AB|＝2，而当点B取椭圆上一点M(－2,0)时，则|AM|＝，所以|AM|>|AB|.13分从而知|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立.15分题组2主与次的相互转化5．设f(x)是定义在R上的单调递增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意a∈[－1,1]恒成立，则x的取值范围为________.【导学号：68334024】(－∞，－1]∪[0，＋∞)[∵f(x)是R上的增函数，∴1－ax－x2≤2－a，a∈[－1,1]．①①式可化为(x－1)a＋x2＋1≥0，对a∈[－1,1]恒成立．令g(a)＝(x－1)a＋x2＋1，则解得x≥0或x≤－1.1即实数x的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)．]6．已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数．对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)＜0，则实数x的取值范围为________．[由题意，知g(x)＝3x2－ax＋3a－5，令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1.对－1≤a≤1，恒有g(x)＜0，即φ(a)＜0，∴即解得－＜x＜1.故当x∈时，对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)＜0.]7．对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px＞4x＋p－3成立的x的取值范围是________．(－∞，－1)∪(3，＋∞)[设f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，则当x＝1时，f(p)＝0，所以x≠1.f(p)在0≤p≤4上恒正，等价于即解得x＞3或x＜－1.]8．已知函数f(x)＝x3＋x2＋x(0＜a＜1，x∈R)．若对于任意的三个实数x1，x2，x3∈[1,2]，都有f(x1)＋f(x2)＞f(x3)恒成立，求实数a的取值范围.【导学号：68334025】[解]因为f′(x)＝x2＋x＋＝(x＋a－2)，2分所以令f′(x)＝0，解得x1＝，x2＝2－a.3分由0＜a＜1，知1＜2－a＜2.所以令f′(x)＞0，得x＜或x＞2－a；4分令f′(x)＜0，得＜x＜2－a，所以函数f(x)在(1,2－a)上单调递减，在(2－a,2)上单调递增.5分所以函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(2－a)＝(2－a)2，最大值为max{f(1)，f(2)}＝max.6分因为当0＜a≤时，－≥a；7分当＜a＜1时，a＞－，8分由对任意x1，x2，x3∈[1,2]，都有f(x1)＋f(x2)＞f(x3)恒成立，得2f(x)min＞f(x)max(x∈[1,2])．所以当0＜a≤时，必有2×(2－a)2＞－，12分结合0＜a≤可解得1－＜a≤；当＜a＜1时，必有2×(2－a)2＞a，结合＜a＜1可解得＜a＜2－.综上，知所求实数a的取值范围是1－＜a＜2－.15分2
