高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质课时提升作业2 新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学试题VIP免费

双曲线的简单几何性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.若双曲线-=1的渐近线方程为y=±2x，则实数m等于()A.4B.8C.16D.32【解析】选D.由题意，得双曲线焦点在x轴上，且a2=8，b2=m，所以a=2，b=.又渐近线方程为y=±2x，所以=4.所以m=32.2.(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A.B.2C.D.【解析】选D.设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，如图所示，|AB|=|BM|，∠ABM=120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在Rt△BMN中，|BN|=a，|MN|=a，故点M的坐标为M(2a，a)，代入双曲线方程得a2=b2=c2-a2，即c2=2a2，所以e=.【补偿训练】已知0<θ<，则双曲线C1：-=1与C2：-=1的()A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等1【解析】选D.因为0<θ<，所以双曲线C1的离心率e1===，而双曲线C2的离心率e2======，所以e1=e2.3.(2015·石家庄高二检测)已知F是双曲线-=1(a>0)的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线C上一点，则∠POF的大小不可能是()A.15°B.25°C.60°D.165°【解析】选C.双曲线的渐近线方程为y=±x，所以渐近线的倾斜角为30°或150°，所以∠POF不可能等于60°.4.(2015·银川高二检测)已知双曲线-=1(b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y=x，点P(，y0)在双曲线上，则·=()A.-12B.-2C.0D.4【解题指南】由渐近线方程求出b，得到双曲线方程，进而求出F1，F2及P的坐标即可.【解析】选C.由渐近线方程为y=x知，=1，所以b=，因为点P(，y0)在双曲线上，所以y0=±1，y0=1时，P(，1)，F1(-2，0)，F2(2，0)，所以·=0，2y0=-1时，P(，-1)，·=0.5.设P是双曲线-=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3,则|PF2|=()A.1或5B.6C.7D.9【解析】选C.因为双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,所以=,因为b=3,所以a=2.又||PF1|-|PF2||=2a=4,所以|3-|PF2||=4.所以|PF2|=7或|PF2|=-1(舍去).二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程为________________.【解析】根据双曲线渐近线方程为y=±x，可设双曲线的方程为-y2=m，把(4，)代入-y2=m，得m=1.答案：-y2=17.(2015·揭阳高二检测)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，A，B为椭圆的顶点，当FB⊥AB时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________.【解析】设中心在坐标原点的双曲线左焦点F，实轴右端点A，虚轴端点B，FB⊥AB，则|AF|2=|AB|2+|BF|2，因为|AF|2=(a+c)2，|AB|2=a2+b2，|BF|2=b2+c2，所以c2-a2-ac=0，因为e=，所以e2-e-1=0，3因为e>1，所以e=.答案：【补偿训练】已知双曲线C：-=1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是____________.【解析】因为等轴双曲线的离心率为，且双曲线C的开口比等轴双曲线更开阔，所以双曲线C：-=1的离心率e>，即>2.所以m>4.答案：(4，+∞)8.(2015·孝感高二检测)双曲线-=1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为________.【解析】设|PF1|=m，|PF2|=n(m>n)，所以a=3，b=4，c=5.由双曲线的定义知，m-n=2a=6，又PF1⊥PF2.所以△PF1F2为直角三角形.即m2+n2=(2c)2=100.由m-n=6，得m2+n2-2mn=36，所以2mn=m2+n2-36=64，mn=32.设点P到x轴的距离为d，=d|F1F2|=|PF1|·|PF2|，即d·2c=mn.所以d===3.2，即点P到x轴的距离为3.2.答案：3.2三、解答题(每小题10分，共20分)9.(1)已知双曲线的渐近线方程为y=±x，求双曲线的离心率.(2)双曲线的离心率为，求双曲线的两条渐近线的夹角.(3)双曲线与圆x2+y2=17有公共点A(4，-1)，圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程.4【解析】(1)因为双曲线的渐近线方程为y=±x，所以=或=.当=时，e=；当=时，e=.(2)因为e==，所以=，即a=b，所以双曲线渐近线方程为y=±x.所以双曲线两条渐近线的夹角为90°.(3)因为点A与圆心O连线的斜率为-，所以过A的切线的斜率为4.所以双曲线的渐近线方程为y=±4x.设双曲线方程为x2-=λ.因为点A(4，-1)在双曲线上，所以16-=λ，λ=....