课时跟踪检测（十五）微积分基本定理一、基本能力达标1．下列积分值等于1的是()A.xdxB.(x＋1)dxC.1dxD.dx解析：选C1dx＝x＝1.2.(ex＋2x)dx＝()A．1B．e－1C．eD．e＋1解析：选C(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)＝(e1＋1)－e0＝e.3.|x2－4|dx＝()A.B．C.D.解析：选C|x2－4|dx＝(4－x2)dx＋(x2－4)dx＝＋＝，故选C.4．函数F(x)＝t(t－4)dt在[－1,5]上()A．有最大值0，无最小值B．有最大值0和最小值－C．有最小值－，无最大值D．既无最大值也无最小值解析：选BF(x)＝(t2－4t)dt＝＝x3－2x2(－1≤x≤5)．F′(x)＝x2－4x，由F′(x)＝0，得x＝0或4，列表如下：x(－1,0)0(0,4)4(4,5)F′(x)＋0－0＋F(x)极大值极小值可见极大值F(0)＝0，极小值F(4)＝－.又F(－1)＝－，F(5)＝－，所以最大值为0，最小值为－.5．若x2dx＝18(a>0)，则a＝________.解析：x2dx＝＝－＝18⇒a＝3.答案：36．设f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝________.解析：显然f(1)＝lg1＝0，f(0)＝0＋3t2dt＝t3＝1，得a＝1.答案：17．求下列定积分：(1)dx；(2)sindx.解：(1)dx＝dx＝2xdx＋dx＋1dx＝x2＋lnx＋x＝(4－1)＋ln2－ln1＋2－11＝4＋ln2.(2)∵sin＝＝sinx＋cosx，(－cosx＋sinx)′＝sinx＋cosx，∴sindx＝(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)＝(－cosπ＋sinπ)－(－cos0＋sin0)＝2.8．A，B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段的速度为1.2tm/s，到C点的速度为24m/s，从C点到B站前的D点这段路程做匀速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24－1.2t)m/s，在B站恰好停车，试求：(1)A，C间的距离；(2)B，D间的距离．解：(1)设从A到C的时间为t1s，则1.2t1＝24，解得t1＝20，则AC＝1.2tdt＝0.6t2＝240(m)．即A，C间的距离为240m.(2)设从D到B的时间为t2s，则24－1.2t2＝0，解得t2＝20，则BD＝(24－1.2t)dt＝(24t－0.6t2)＝240(m)．即B，D间的距离为240m.二、综合能力提升1．若函数f(x)＝xm＋nx的导函数是f′(x)＝2x＋1，则f(－x)dx＝()A.B．C.D.解析：选A∵f(x)＝xm＋nx的导函数是f′(x)＝2x＋1，∴f(x)＝x2＋x，∴f(－x)dx＝(x2－x)dx＝＝.2．已知函数f(a)＝sinxdx，则f等于()A．1B．1－cos1C．0D．cos1－1解析：选Bf＝sinxdx＝－cosx＝1.f＝f(1)＝sinxdx＝－cosx＝1－cos1.3．若dx＝3＋ln2，则a的值是()A．6B．4C．3D．2解析：选Ddx＝(x2＋lnx)＝(a2＋lna)－(1＋ln1)＝(a2－1)＋lna＝3＋ln2.∴∴a＝2.4．函数y＝x2与y＝kx(k>0)的图象所围成的阴影部分的面积为，则k＝________.解析：由解得或由题意得，(kx－x2)dx＝＝k3－k3＝k3＝，故k＝3.答案：35．已知(x3＋ax＋3a－b)dx＝2a＋6，且f(t)＝(x3＋ax＋3a－b)dx为偶函数，求a，b.解：∵f(x)＝x3＋ax为奇函数，∴(x3＋ax)dx＝0，∴(x3＋ax＋3a－b)dx2＝(x3＋ax)dx＋(3a－b)dx＝0＋(3a－b)[1－(－1)]＝6a－2b，∴6a－2b＝2a＋6，即2a－b＝3.①又∵f(t)＝＝＋＋(3a－b)t为偶函数，∴3a－b＝0.②由①②得a＝－3，b＝－9.6.已知S1为直线x＝0，y＝4－t2及y＝4－x2所围成图形的面积，S2为直线x＝2，y＝4－t2及y＝4－x2所围成图形的面积(t为常数)．(1)若t＝时，求S2.(2)若t∈(0,2)，求S1＋S2的最小值．解：(1)当t＝时，S2＝([2－(4－x2)]dx＝＝(－1)．(2)t∈(0,2)，S1＝[(4－x2)－(4－t2)]dx＝＝t3，S2＝[(4－t2)－(4－x2)]dx＝＝－2t2＋t3，令S＝S1＋S2＝t3－2t2＋，S′＝4t2－4t＝4t(t－1)，令S′＝0得t＝0(舍去)或t＝1，当00，所以当t＝1时，Smin＝2.34
