高中数学 第一章 解直角三角形 1.1.1 正弦定理学业分层测评 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

正弦定理(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.在△ABC中，a＝4，∠A＝45°，∠B＝60°，则边b的值为()A.＋1B.2＋1C.2D.2＋2【解析】由已知及正弦定理，得＝，∴b＝＝＝2.【答案】C2.在△ABC中，若a＝2，b＝2，∠A＝30°，则∠B＝()A.60°B.60°或120°C.30°D.30°或150°【解析】由＝，得sinB＝＝＝.因为b＞a，所以∠B＞∠A，所以∠B＝60°或∠B＝120°.【答案】B3.若三角形三个内角之比为1∶2∶3，则这个三角形三边之比是()【导学号：18082057】A.1∶2∶3B.1∶∶2C.2∶∶1D.∶1∶2【解析】设三角形内角A，B，C分别为x,2x,3x，则x＋2x＋3x＝180°，∴x＝30°.由正弦定理＝＝，可知a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC，∴a∶b∶c＝sin30°∶sin60°∶sin90°＝∶∶1＝1∶∶2.【答案】B4.在△ABC中，若3b＝2asinB，cosA＝cosC，则△ABC形状为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】由正弦定理知b＝2R·sinB，a＝2R·sinA，则3b＝2a·sinB可化为：3sinB＝2sinA·sinB.∵0°<∠B<180°，∴sinB≠0，∴sinA＝，∴∠A＝60°或120°，又cosA＝cosC，∴∠A＝∠C，∴∠A＝60°，∴△ABC为等边三角形.1【答案】C二、填空题5.在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________.【导学号：18082058】【解析】由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知∠B所对的边b为最小边，由正弦定理＝得b＝＝＝.【答案】6.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，∠C＝，则b＝________.【解析】在△ABC中，∵sinB＝，0<∠B<π，∴∠B＝或∠B＝π.又∵∠B＋∠C<π，∠C＝，∴∠B＝，∴∠A＝π－－＝π.∵＝，∴b＝＝1.【答案】17.在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tanA＝2，则a＝________.【解析】由tanA＝2，得sinA＝2cosA.又由sin2A＋cos2A＝1，得sinA＝.因为b＝5，∠B＝，根据＝，得a＝＝＝2.【答案】2三、解答题8.在△ABC中，已知＝＝，试判断△ABC的形状.【导学号：18082059】【解】令＝k，由正弦定理得a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC.代入已知条件，得＝＝，即tanA＝tanB＝tanC.又∠A，∠B，∠C∈(0，π)，∴∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC为等边三角形.9.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2bsinA.(1)求角B的大小；(2)求cosA＋sinC的取值范围.【解】(1)由a＝2bsinA及正弦定理，得sinA＝2sinBsinA.因为sinA≠0，所以sinB＝.由△ABC为锐角三角形，得∠B＝.(2)cosA＋sinC＝cosA＋sin＝cosA＋sin＝cosA＋cosA＋sinA＝sin.由△ABC为锐角三角形，知－∠B＜∠A＜.又因为－∠B＝－＝，所以＜∠A＋＜，所以＜sin＜，所以＜sin＜，2所以cosA＋sinC的取值范围是.[能力提升]1.在△ABC中，(b＋c)∶(a＋c)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于()A.4∶5∶6B.6∶5∶4C.7∶5∶3D.7∶5∶6【解析】设b＋c＝4k，a＋c＝5k，a＋b＝6k(k＞0)，三式联立可求得a＝k，b＝k，c＝k，∴a∶b∶c＝7∶5∶3，即sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3.【答案】C2.在△ABC中，下列关系中一定成立的是()A.a>bsinAB.a＝bsinAC.a