4.5三角函数的图象和性质A组基础题组1.函数y=3-2sin2x的最小正周期为()A.π2B.πC.2πD.4π答案B y=3-2sin2x=2+cos2x,∴最小正周期T=π,故选B.2.函数f(x)=sinxcosx+√32cos2x的最小正周期和振幅分别是()A.π,1B.π,2C.2π,1D.2π,2答案A f(x)=sinxcosx+√32cos2x=12sin2x+√32cos2x=sin(2x+π3),∴最小正周期和振幅分别是π,1.故选A.3.(2019台州中学月考)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是π,且当x∈[0,π2]时,f(x)=sinx,则f(5π3)的值为()A.-12B.12C.-√32D.√32答案D f(x)的最小正周期是π,∴f(5π3)=f(53π-2π)=f(-π3), f(x)是偶函数,∴f(-π3)=f(π3)=sinπ3=√32,∴f(5π3)=√32,故选D.4.(2017浙江金华十校联考)设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),则f(x)的奇偶性()A.与ω有关,且与φ有关B.与ω有关,但与φ无关1C.与ω无关,且与φ无关D.与ω无关,但与φ有关答案D因为f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ,所以f(-x)=-sinωxcosφ+cosωxsinφ.若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x)恒成立,故cosωxsinφ=0恒成立,所以sinφ=0,故φ=kπ,k∈Z;若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)恒成立,故sinωxcosφ=0恒成立,所以cosφ=0,故φ=kπ+π2,k∈Z.综上,f(x)的奇偶性仅与φ有关,故选D.5.(2017课标全国Ⅲ理,6,5分)设函数f(x)=cos(x+π3),则下列结论错误的是()A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称C.f(x+π)的一个零点为x=π6D.f(x)在(π2,π)单调递减答案Df(x)的最小正周期为2π,易知A正确;f(8π3)=cos(83π+π3)=cos3π=-1,为f(x)的最小值,故B正确; f(x+π)=cos(x+π+π3)=-cos(x+π3),∴f(π6+π)=-cos(π6+π3)=-cosπ2=0,故C正确;由于f(2π3)=cos(2π3+π3)=cosπ=-1,为f(x)的最小值,故f(x)在(π2,π)上不单调,故D错误.6.函数f(x)=sin(2x-π4)+1的最小正周期为;单调递增区间是;对称轴方程为.2答案π;[kπ-π8,kπ+3π8](k∈Z);x=kπ2+3π8(k∈Z)解析根据函数性质知,最小正周期T=2π2=π.令2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2(k∈Z),解得kπ-π8≤x≤kπ+3π8(k∈Z),所以单调递增区间是[kπ-π8,kπ+3π8](k∈Z).再令2x-π4=kπ+π2(k∈Z),解得x=kπ2+3π8(k∈Z),即对称轴方程为x=kπ2+3π8(k∈Z).7.(2018温州高中模拟)设ω=N*且ω≤15,则使函数y=sinωx在区间[π4,π3]上不单调的ω的个数是.答案8解析当x∈[π4,π3]时,ωx∈[ωπ4,ωπ3],由题意知ωπ40)的最小正周期为1,则ω=,函数f(x)在区间[-16,14]上的值域为.答案π;[-2,√3]解析f(x)=2sin2ωx+2√3sinωxsin(ωx+π2)-1=√3sin(2ωx)-cos(2ωx)=2sin(2ωx-π6),3∴2π2ω=1⇒ω=π,∴f(x)=2sin(2πx-π6),∴当x∈[-16,14]时,2πx-π6∈[-π2,π3],∴2sin(2πx-π6)∈[-2,√3],∴f(x)=2sin(2πx-π6)在[-16,14]上的值域为[-2,√3].9.(2019杭州学军中学质检)已知f(x)=sin2x-√3cos2x,若对任意实数x∈(0,π4],都有|f(x)|0,|φ|≤π2)的最小正周期为π,且x=π12为函数f(x)的图象的一条对称轴.(1)求ω和φ的值;(2)设函数g(x)=f(x)+f(x-π6),求g(x)的单调递减区间.解析(1)因为f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2)的最小正周期为π,所以ω=2,又2...
