课时限时检测(四十七)圆的方程(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是()A．(－∞，4)B．(－∞，0)C．(－4，＋∞)D．(4，＋∞)【答案】A2．若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝()A.B.C.D.【答案】A3．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是()A．3－B．3＋C．3－D.【答案】A4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1【答案】A5．点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，则该圆的半径为()A．2B.C．3D．1【答案】C6．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为()A．(－∞，－2)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(2，＋∞)【答案】D二、填空题(每小题5分，共15分)7．直线x－2y－2k＝0与2x－3y－k＝0的交点在圆x2＋y2＝9的外部，则k的范围是．【答案】∪8．已知A、B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB的长为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是．【答案】(x－1)2＋(y＋1)2＝99．已知圆C过点A(1,0)和B(3,0)，且圆心在直线y＝x上，则圆C的标准方程为．【答案】(x－2)2＋(y－2)2＝5三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知圆的方程为(x－m)2＋(y＋m－4)2＝2.(1)求圆心C的轨迹方程；(2)当|OC|最小时，求圆C的一般方程(O为坐标原点)．【解】(1)设C(x，y)，则消去m，得y＝4－x.∴圆心C的轨迹方程为x＋y－4＝0.(2)当|OC|最小时，OC与直线x＋y－4＝0垂直，∴直线OC的方程为x－y＝0.由得x＝y＝2.即|OC|最小时，圆心的坐标为(2,2)，∴m＝2.圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.其一般方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0.11．(12分)已知点P(x，y)是圆(x＋2)2＋y2＝1上任意一点．(1)求P点到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值；(2)求x－2y的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值．【解】(1)圆心C(－2,0)到直线3x＋4y＋12＝0的距离为d＝＝.∴P点到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值为d＋r＝＋1＝，最小值为d－r＝－1＝.(2)设t＝x－2y，则直线x－2y－t＝0与圆(x＋2)2＋y2＝1有公共点．∴≤1.∴－－2≤t≤－2.∴tmax＝－2，tmin＝－2－.即x－2y的最大值为－2.最小值为－2－.(3)设k＝，则直线kx－y－k＋2＝0与圆(x＋2)2＋y2＝1有公共点，∴≤1.∴≤k≤.∴kmax＝，kmin＝.即的最大值为，最小值为.12．(13分)已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，半径小于5.(1)求直线PQ与圆C的方程；(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．【解】(1)直线PQ的方程为：x＋y－2＝0，设圆心O(a，b)，半径为r，由于线段PQ的垂直平分线的方程是y－＝x－，即y＝x－1，所以b＝a－1.①又由在y轴上截得的线段长为4，知(a＋1)2＋(b－3)2＝12＋a2.②由①②得：a＝1.b＝0或a＝5，b＝4.当a＝1，b＝0时，r2＝13满足题意当a＝5，b＝4时，r2＝37不满足题意，故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝13.(2)设直线l的方程为y＝－x＋m，A(x1，m－x1)，B(x2，m－x2)，由题意可知OA⊥OB，即kOA·kOB＝－1，∴·＝－1.整理得m2－m(x1＋x2)＋2x1x2＝0将y＝－x＋m代入(x－1)2＋y2＝13可得2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0.∴x1＋x2＝1＋m，x1x2＝，即m2－m·(1＋m)＋m2－12＝0.∴m＝4或m＝－3，∴y＝－x＋4或y＝－x－3.
