第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.1平面向量的概念及线性运算课时规范训练理北师大版[A级基础演练]1．(2016·吉林省实验中学一模)已知向量e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝()A．2B．－2C．－D.解析：若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则有2e1－e2＝k(e1＋λe2)＝ke1＋λke2，得解得λ＝－，故选C.答案：C2．(2016·四川泸州检测)已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足PA＝PB＋PC，则|的值为()A．1B.C.D．2解析：因为PA＝PB＋PC，所以PA必为以PB，PC为邻边的平行四边形的对角线，因为D为边BC的中点，所以D为边PA的中点，的值为1，故选A.答案：A3．(2016·贵阳检测)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝()A．aB．bC．cD．0解析：依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0.答案：D4．(2016·郑州模拟)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d同向，则实数λ的值为________．解析：由于c与d同向，所以c＝kd(k＞0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－.又因为k＞0，所以λ＞0，故λ＝1.答案：15．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状为________．解析：OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC，∴|AB＋AC|＝|AB－AC|，故A、B、C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案：直角三角形6．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝________.解析：由向量加法的平行四边形法则，得AB＋AD＝AC.又O是AC的中点，∴AC＝2AO，∴AC＝2AO，∴AB＋AD＝2AO.又AB＋AD＝λAO，∴λ＝2.答案：27．设a，b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，t∈R，t为何值时，a、tb、(a＋b)三向量的终点在一条直线上？解：设a－tb＝λ(λ∈R)，化简整理得a＋b＝0， a与b不共线，∴由平面向量基本定理有∴故t＝时，a、tb、(a＋b)的终点在一条直线上．8．如图所示，在△ABC中，在AC上取点N，使得AN＝AC，在AB上取点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取一点P，使得NP＝BN，在CM的延长线上取一点Q，使得MQ＝λCM时，AP＝QA，试确定λ的值．解： AP＝NP－NA＝(BN＋NC)＝BC，QA＝MA－MQ＝BM＋λMC，又 AP＝QA，∴BM＋λMC＝BC，即λMC＝(BC－BM)＝MC∴λ＝.[B级能力突破]1．(2016·山师大附中模拟)已知平面内一点P及△ABC，若PA＋PB＋PC＝AB，则点P与△ABC的位置关系是()A．点P在线段AB上B．点P在线段BC上C．点P在线段AC上D．点P在△ABC外部解析：由PA＋PB＋PC＝AB得PA＋PC＝AB－PB＝AP，即PC＝AP－PA＝2AP，所以点P在线段AC上．答案：C2．(2016·威海模拟)已知a，b是不共线的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋μb(λ、μ∈R)，那么A、B、C三点共线的充要条件是()A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1解析：由AB＝λa＋b，AC＝a＋μb(λ、μ∈R)及A、B、C三点共线得：AB＝tAC，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得，所以λμ＝1.故选D.答案：D3．(2016·孝感模拟)如图所示，向量OA＝a，OB＝b，OC＝c，A、B、C在一条直线上，且AC＝－3CB，则()A．c＝－a＋bB．c＝a－bC．c＝－a＋2bD．c＝a＋2b解析： OC＝OA＋AC＝OA＋3BC＝OA＋3(OC－OB)＝3OC＋OA－3OB∴2OC＝－OA＋3OB∴c＝OC＝－a＋b.答案：A4．设O在△ABC的内部，且有OA＋2OB＋3OC＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为__________．解析：设AC，BC的中点分别为M，N，则已知条件可化为(OA＋OC)＋2(OB＋OC)＝0，即2OM＋4ON＝0，所以OM＝－2ON，说明M，O，N三点共线，即O为中位线MN上的一个三等分点，S△AOC＝S△ANC＝·S△ABC＝S△ABC，所以＝3.答案：35．如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD＝xAB＋yAC，则x＝________，y＝________.解析：过点D作DF⊥AB的延长线于点F，设AB＝1，则AC＝1，BC＝，ED＝，BD＝，∴DF＝，BF＝.∴AD＝AB＋AC.∴x...
