考点规范练24平面向量的数量积基础巩固组1.已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0答案B解析a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-(-1)=2+1=3,故选B.2.已知向量⃗BA=(12,√32),⃗BC=(√32,12),则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°答案A解析由题意得cos∠ABC=⃗BA·⃗BC|⃗BA||⃗BC|=12×√32+√32×121×1=√32,所以∠ABC=30°,故选A.3.设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析|a-3b|=|3a+b|⇔|a-3b|2=|3a+b|2⇔a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2,因为a,b均为单位向量,所以a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2⇔a·b=0⇔a⊥b,即“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的充分必要条件.故选C.4.若|a|=1,|b|=2,且(a+b)⊥a,则a与b的夹角是()A.π6B.π3C.5π6D.2π3答案D解析(a+b)⊥a(⇔a+b)·a=0⇔a2+a·b=0,即|a|2+|a|·|b|·cosθ=0(其中θ为a与b的夹角),即12+1×2×cosθ=0cos⇒θ=-12,由于0≤θ≤π,解得θ=2π3,故选D.5.(2017浙江绍兴二模)已知点A(0,1),B(-2,3),C(-1,2),D(1,5),则向量⃗AC在⃗BD方向上的投影为()A.2√1313B.-2√1313C.√1313D.-√1313答案D解析 ⃗AC=(-1,1),⃗BD=(3,2),∴⃗AC在⃗BD方向上的投影为|⃗AC|cos<⃗AC,⃗BD>=⃗AC·⃗BD|⃗BD|=-1×3+1×2√32+22=-1√13=-√1313.故选D.6.(2017浙江温州瑞安检测)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2),|b|=1,且a+b与a-2b垂直,则向量a·b=;a与b的夹角θ的余弦值为.1答案33√55解析 (a+b)⊥(a-2b),∴(a+b)·(a-2b)=0,即|a|2-a·b-2|b|2=0,∴5-a·b-2=0,∴a·b=3,∴cosθ=a·b|a|·|b|=3√55.7.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos
=13.若n⊥(tm+n),则实数t的值为.答案-4解析由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k>0),又n⊥(tm+n),所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m|·|n|·cos+|n|2=t×3k×4k×13+(4k)2=4tk2+16k2=0,所以t=-4.8.在△ABC中,已知⃗AB·⃗AC=4,|⃗BC|=3,M,N分别是BC边上的三等分点,则⃗AM·⃗AN的值是.答案6解析记BC中点为D,则由⃗AB·⃗AC=14[(⃗AB+⃗AC)2-(⃗AB−⃗AC)2]=14[(2⃗AD)2-⃗CB2]=⃗AD2−94=4,得⃗AD2=254.所以⃗AM·⃗AN=14[(⃗AM+⃗AN)2-(⃗AM−⃗AN)2]=14×(2⃗AD)2-14⃗MN2=⃗AD2−14=254−14=6.能力提升组9.设a,b,c均为非零向量,若|(a+b)·c|=|(a-b)·c|,则()A.a∥bB.a⊥bC.a∥c或b∥cD.a⊥c或b⊥c答案D解析因为a,b,c均为非零向量,若|(a+b)·c|=|(a-b)·c|,所以(a+b)·c=(a-b)·c,或者(a+b)·c=-[(a-b)·c],展开整理得到b·c=0,或者a·c=0,所以b⊥c或a⊥c.故选D.210.如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则⃗AE·⃗BE的最小值为()A.2116B.32C.2516D.3答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,-12),B(√32,0),C(0,32),D(-√32,0), 点E在CD上,则⃗DE=λ⃗DC(0≤λ≤1),设E(x,y),则(x+√32,y)=λ(√32,32),即{x+√32=√32λ,y=32λ,由此可得E(√32λ-√32,32λ),且⃗AE=(√32λ-√32,32λ+12),⃗BE=(√32λ-√3,32λ),由数量积的坐标运算法则可得,⃗AE·⃗BE=(√32λ-√32)(√32λ-√3)+32λ×(32λ+12),整理可得⃗AE·⃗BE=34(4λ2-2λ+2)(0≤λ≤1),结合二次函数的性质可知,当λ=14时,⃗AE·⃗BE取得最小值2116.故选A.11.在梯形ABCD中,AB∥DC,AB⊥AD,AD=DC=1,AB=2,若⃗AP=16⃗AD+56⃗AB,则|⃗BC+t⃗PB|(t∈R)的取值范围是()A.[√55,+∞)B.[√2,+∞)C.[√55,1]D.[1,+∞)答案A3解析 ⃗AP=16⃗AD+56⃗AB,∴点P的位置在线段BD的六等分点(最靠近点B的分点).而|⃗BC+t⃗PB|(t∈R)=|⃗BC-t⃗BP|(t∈R),即为点C与直线BD上的动点Q所连线段的长度.当点Q在直线BD上,且CQ⊥BD时,长度最小为|CQ|=√55.又点Q在直线BD上运动,故长度可无限增大,没有上界.故选A.12.已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π3,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是()A.√3-1B.√3+1C.2D.2-√3答案A解析设a=(x,y),e=(1,0),b=(m,n),则由=π3得a·e=|a|·|e|cosπ3,x=12√x2+y2,∴y=±√3x,由b2-4e·b+3=0得m2+n2-4m+3=0,(m-2)2+n2=1,因此|a-b|的最小值为圆...
