高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1 系数的扩充自主练习 苏教版选修1-2-苏教版高二选修1-2数学试题VIP免费

3.1系数的扩充自主广场我夯基我达标1．下列说法正确的是（）A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B.ai是纯虚数C.如果复数x+yi是实数，则x=0,y=0D.复数a+bi不是实数思路解析:本题考查复数的基本概念与复数相等的概念.由复数相等的概念知A正确；若a=0，ai为实数，B错误；若x+yi是实数，只要求y=0即可，C错误；若b=0，则a+bi是实数，因此D错误.答案:A2．下列说法正确的个数是（）①实数是复数；②虚数是复数；③实数集和虚数集的交集不是空集；④实数集与虚数集的并集等于复数集.A.1B.2C.3D.4思路解析:本题考查复数的分类，由复数集、虚数集、实数集的关系知①、②、④正确.答案:C3．i2+i是（）A.实数B.虚数C.0D.1思路解析:i2+i=-1+i,是虚数.答案:B4.以3i-2的虚部为实部，以3i2-2i的实部为虚部的复数是（）A.3-3iB.3+IC.-2+2iD.2+2i思路解析:本题考查复数的代数形式及概念，关键是分清实部与虚部，3i-2的虚部为3；3i2-2i的实部为-3，因此复数为3-3i.答案:A5.若x是实数，y是纯虚数且满足2x-1+2i=y,则x=_____________,y=_____________.思路解析:本题考查复数相等的概念，可设y=ai,则2x-1+2i=ai∴02013ax∴x=21,y=2i答案:x=21;y=2i6.若log2(x2-3x+2)+ilog2(x2+2x+1)＞1，则实数x的值域范围是_____________.思路解析:本题考查复数的概念.log2(x2-3x+2)+ilog2(x2+2x+1)＞1则满足11222322xxmx解得x=-2满足条件.答案:x=-217.若i=1+x，则x=_____________.思路解析:本题考查复数相等的条件，由于x没有说明，因此应将x当成复数，可设x=a+bi，则（a+1)+bi=i∴101ba∴11ba，因此x=-1+i.答案:x=-1+i.8.若log2(m2-3m-4)+ilog2(m+2)为纯虚数，求实数m的值.思路分析:本题考查复数相等的概念，要求为纯虚数，则满足实部为0，虚部不为0.解：log2(m2-3m-4)+ilog2(m+2)为纯虚数.∴0)2(log0)43(log222mmm∴m=4,故当m=4时，log2（m2-3m-4)+ilog2（m+2）是纯虚数.9.已知162xxx+(x2-2x-3)i=0（x∈R),求x的值.解：由复数相等的定义得03201622xxxxx解得x=3∴x=3为所求.我综合我发展10.(2005年广东高考卷)若(a-2i)i=b-i,其中a,b∈R,i是虚数单位，则a2+b2=（）A.0B.2C.25D.5思路解析:考查复数的运算，复数相等的条件，（a-2i)i=b-i,2+ai=b-i,根据复数相等的条件得a=-1,b=2,∴a2+b2=5.答案:D11.复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为纯虚数的条件是（）A.|a|=|b|B.a＜0且a=-bC.a＞0且a≠bD.a＞0且a=±b思路解析:考查复数的概念，z=a2-b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为纯虚数，要求0||022aaba.解得a＞0,且a=±b.答案:D12.已知方程x2-2ix-4=0，因为Δ=(-2i)2+16＞0,所以方程的根是（）A.两个不等实数B.一对虚根C.一实根一虚根D.以上都不正确思路解析:考查复数相等的定义.设x=a+bi(a,b∈R),则(a+bi)2-2i(a+bi)-4=0.∴(a2-b2+2b-4)+(2ab-2a)i=0.2∴20ba或13ba或13ba∴x=2i或x=i3，或x=i3.答案:D13.设关于x的方程是x2-(tanθ+i)x-(2+i)=0.（1）若方程有实根，求锐角θ的实数根；（2）证明对任意θ≠kπ+2(k∈Z)方程无纯虚数根.解：(1)设方程的实根为α,则α2-(tanθ+i)α-(2+i)=0,即α2-tanθ·α-2-(α+1)i=0∵α·tanθ∈R∴0102tan2∴α=-1且tanθ=1又θ＜θ＜2,∴θ=4,α=-1(2)若方程有纯虚数根βi(β∈R,β≠0)则(βi)2-(tanθ+i)·βi-(2+i)=0.∴-β2+β-2=0①且-tanθ·β-1=0②由②得β=-cotθ,代入①得cot2θ+cotθ+2=0此方程Δ=1-8＜0,∴cotθ为虚数，与cotθ∈R矛盾，假设不成立，∴原方程对于任意实数θ不可能有纯虚数根.14.已知复数Z1=m+(4-m)2i(m∈R),Z2=2cosθ+（λ+3sinθ)i(λ∈R)，若Z1=Z2，证明：169≤λ≤7.思路分析:利用复数相等，将复数问题转化为实数问题，再利用函数的单调性或函数的最值求参数的取值范围.证明：∵Z1=Z2∴m+(4-m2)i=2cosθ+(λ+3sinθ)i由复数相等的条件，得sin34cos22mm∴λ=4-m2-3sinθ=4sin2θ-3sinθ=4(sinθ-83)2-169.∵-1≤sinθ≤1,∴当sinθ=83时，λmin=-169;当sinθ=-1时，λmax=7.∴-169≤λ≤7.3