偏微分方程式(PDE)就是指含有偏导函数(partialVIP免费

Chapter2IntroductiontoPartialDifferentialEquations偏微分方程式（PDE）就是指含有偏導函數（partialderivatives）的方程式，在常微分方程式（ODE）中，未知函數只是單變數函數，而在PDE中，未知函數則為多變數函數。在實際的工程或物理問題中，所欲分析的物理量（即未知函數）常受到不只一個變數的影響，所以一般多以PDE來表示。2.1PDE的分類(a)以階數（order）區分：PDE的階數為方程式中的最高偏導函數的階數。例如，uutxx為2階PDE，uutx為1階PDE，uuuxtxxxsin為3階PDE。(b)以是否線性（linearity）區分：若PDE中的相依變數（即未知函數）及其偏導函數均為一次方（無乘方）且無彼此相乘的情況，則稱為線性PDE，反之為非線性PDE。例如，AuBuCuDuEuFuGxxxyyyxy（1）其中A,B,C,D,E,F,G為常數，或x,y的函數。（1）式為線性的2階PDE。而uuuxxt0為非線性之PDE。(c)以是否齊性區分：以（1）式為例，G=0時為齊性，G≠0時為非齊性。(d)以係數類型區分：分為常係數與變係數之PDE。(e)所有像（1）式之線性PDE均可分為三大類型：當B2-4AC=0，為拋物線型(parabolic)，如熱方程式。當B2-4AC>0，為雙曲線型(hyperbolic)，如波動方程式。當B2-4AC<0，為橢圓型(elliptic)，如勢能方程式。此種區分方式與二次曲線的分類概念相似，其原理此處暫不詳述，將於後續章節說明。此外，在數學物理上有三個重要的典型PDE：波動方程式（waveequation），熱方程式（heatequation），勢能方程式（Laplace’sequationorpotentialequation），此亦即傳統PDE課程所探討之主要課題。2.2PDE的解法PDE的解法可分為解析法與數值方法，本課程將僅針對解析法做介紹。(a)解析法：分離變數法（separationofvariables）特徵函數展開法（eigenfunctionexpansion）積分變換法（integraltransforms）座標轉換法其他方法（略）(b)數值方法：有限差分法（finitedifferencemethod）有限元素法（finiteelementmethod）其他方法（略）偏微分方程式的問題，除了隨物理現象的不同而產生不同的控制方程式外更會隨邊界條件及初始條件的改變而改變，且解法也不相同，接下來的3節將先介紹前述三大方程式的物理意義及相關的一維問題類型，至於PDE的解法將於後續章節介紹。2.3波動方程式的推導與問題類型2.3.1公式推導：（Showdetailsintheclass.）2.3.2問題類型茲就若干代表性之問題及其物理意義列於表一：表一、與波動方程式有關之問題類型PDEB.C.I.C.物理意義ucuttxx20(x>0,t>0)u(0,t)=0u(x,0)=f(x)ut(x,0)=g(x)一端固定之半無限長的繩索，在無外力作用下振動。u(0,t)=h(t)一端可移動之半無限長的繩索，在無外力作用下振動。ux(0,t)=0一端無限制力之半無限長的繩索振動，且無外力作用。ucuttxx20(00)u(0,t)=0u(L,t)=0兩端固定之長度為L的繩索，在無外力作用下振動。ux(0,t)=0ux(L,t)=0兩端無限制力之長度為L的繩索，在無外力作用下振動。ux(0,t)+hu(0,t)=0ux(L,t)+hu(L,t)=0(h為一常數)兩端接有彈簧之長度為L的繩索，在無外力作用下振動。ucuFxtttxx2(,)(-∞0)無無限長的繩索在外力F作用下振動。ucuhuFxtttxx2(,)(-∞0,h>0)(dampedwaveequation)無無限長的繩索在回復力(-hu)與外力F作用下振動。2.4熱方程式的推導與問題類型2.4.1公式推導：（Showdetailsintheclass.）2.4.2問題類型茲就若干代表性之問題及其物理意義列於表二：表二、與熱方程式有關之問題類型PDEB.C.I.C.物理意義ukutxx0(00)u(0,t)=0u(L,t)=0u(x,0)=f(x)長度L的棍子起始溫分布為f(x)，且兩端溫度均保持為零度。ux(0,t)=0ux(L,t)=0長度L的棍子起始溫分布為f(x)，且兩端均絕熱。u(0,t)=a(t)u(L,t)=b(t)長度L的棍子起始溫分布為f(x)，且兩端溫度均隨時間變化。u(0,t)=a(t)ux(L,t)=b(t)ukutxx0(-∞0)無無限長的棍子起始溫分布為f(x)。ukuhxttxx(,)(-∞0)無無限長的棍子起始溫分布為f(x)，並給予外在熱源h(x,t)。ukutxx0(x>0,t>0)u(0,t)=0半無限長的棍子起始溫分布為f(x)，且在x=0的一端溫度保持為0。ux(0,t)=0半無限長的棍子起始溫分布為f(x)，且在x=0的一端保持...