章末综合测评(一)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中的横线上)1．函数f(x)＝在点(1，－2)处的切线方程为________．【解析】f′(x)＝，则f′(1)＝1，故函数f(x)在点(1，－2)处的切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.【答案】x－y－3＝02．若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为________．【解析】f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，则f′(1)＝12－2f′(1)·1－1，解得f′(1)＝0.【答案】03．函数f(x)＝的导数为________．【解析】f′(x)＝′＝＝＝－.【答案】－4．f(x)＝2x3－3x2＋a的极大值为6，则a＝________.【解析】f′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，令f′(x)＝0，则x＝0或x＝1.∴f(x)在(－∞，0)上递增，在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，∴f(x)极大值＝f(0)＝a，∴a＝6.【答案】65．若a>2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在区间(0,2)恰好有________个零点．【解析】f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)，令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2a>4，∴x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数． f(0)＝1>0，f(2)＝－4a<0，∴f(0)f(2)<0，∴f(x)在(0,2)内有且只有一个零点．【答案】16．(2016·长沙雅礼质检)函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间是_______．【解析】令f′(x)＝1－＝≤0，得x∈(0,1]，∴函数f(x)的单调递减区间是(0,1]．【答案】(0,1]7．(2016·汕头检测)曲线y＝x3＋x在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为________．【解析】 y′＝x2＋1，∴曲线在点处的切线斜率为k＝12＋1＝2，故曲线在点处的切线方程为y－＝2(x－1)，∴该切线与两坐标轴的交点分别是，.故所求三角形的面积是××＝.【答案】8．(2016·唐山检测)已知a>0，函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在区间－2,2]上单调递减，则4a＋b的最大值为______.【导学号：01580029】【解析】 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 函数f(x)在区间－2,2]1上单调递减，∴即即4a＋b≤－12，∴4a＋b的最大值为－12.【答案】－129．已知函数f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，则a＝________，切线方程为________．【解析】f′(x)＝，g′(x)＝(x>0)，由已知得解得a＝，x＝e2，∴两条曲线交点的坐标为(e2，e)，切线的斜率为k＝f′(e2)＝，∴切线方程为y－e＝(x－e2)，即x－2ey＋e2＝0.【答案】x－2ey＋e2＝010．(2016·郑州联考)已知f(x)＝x2＋2xf′(2015)＋2015lnx，则f′(2015)＝________.【解析】由题意得f′(x)＝x＋2f′(2015)＋，所以f′(2015)＝2015＋2f′(2015)＋，即f′(2015)＝－(2015＋1)＝－2016.【答案】－201611．(2015·河北石家庄模拟)若对于曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)的任意切线l1，总存在曲线g(x)＝ax＋2cosx的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为________．【解析】易知函数f(x)＝－ex－x的导数为f′(x)＝－ex－1，设l1与曲线f(x)＝－ex－x的切点为(x1，f(x1))，则l1的斜率k1＝－ex1－1.易知函数g(x)＝ax＋2cosx的导数为g′(x)＝a－2sinx，设l2与曲线g(x)＝ax＋2cosx的切点为(x2，g(x2))，则l2的斜率k2＝a－2sinx2.由题设可知k1·k2＝－1，从而有(－ex1－1)(a－2sinx2)＝－1，∴a－2sinx2＝，故由题意知对任意实数x1，总存在x2使得上述等式成立，则函数y＝的值域是y＝a－2sinx值域的子集，则(0,1)⊆a－2，a＋2]，则∴－1≤a≤2.【答案】－1,2]12．已知函数f(x)＝mx3＋nx2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行，若f(x)在区间t，t＋1]上单调递减，则实数t的取值范围是________．【解析】f′(x)＝3mx2＋2nx，且f(x)在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行．∴解之得因此f′(x)＝3x2＋6x.令f′(x)≤0，得－2≤x≤0.∴f(x)的单调减区间为－2,0]．依题意t≥－2且t＋1≤0，∴－2≤t≤－1.【答案】－2，－1]13．(2016·浙江六校联考)函数y＝lnx＋x2的图象与函数y＝3x－b的图象有3个不同的交点，则实数b的取值范围是________．【解析】函数y＝lnx＋x2的图象与函数y＝3x－b的图象有3个不同的交点，等价于lnx＋x2＝3x－b有3个不同的解，等价于b＝3x－lnx－x2有3个不同的解，对f(x)＝3x－lnx－...
