核心素养测评十五导数与不等式(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.对于∀x∈[0,+∞),则ex与1+x的大小关系为()A.ex≥1+xB.ex<1+xC.ex=1+xD.ex与1+x大小关系不确定【解析】选A.令f(x)=ex-(1+x),因为f′(x)=ex-1,所以对∀x∈[0,+∞),f′(x)≥0,故f(x)在[0,+∞)上递增,故f(x)≥f(0)=0,即ex≥1+x.2.(2020·长沙模拟)已知函数f(x)=-x3-3x+2sinx,设a=20.3,b=0.32,c=log20.3,则()A.f(b)
f(b)>f(a).3.已知x=1是函数f(x)=ax3-bx-lnx(a>0,b∈R)的一个极值点,则lna与b-1的大小关系是()A.lna>b-1B.lna0),则g′=-3=,令g′>0,解得0,故g(a)在上单调递增,在上单调递减,故g(a)max=g=1-ln3<0,故lna-1时,x1f+x2f>2x2f【解析】选AD.设g(x)==lnx,函数单调递增,则g(x2)>g(x1),即>所以x1f(x2)>x2f(x1),A正确;设h(x)=f(x)+x所以h′(x)=lnx+2不是恒大于零,B错误;因为f=xlnx,所以f′=lnx+1不是恒小于零,C错误;当lnx>-1时,f′=lnx+1>0,函数单调递增,故=x1f+x2f-x2f-x1f(x2)>0,即x1f+x2f>x2f+x1f(x2),=lnx2>=lnx1所以x1f(x2)>x2f(x1)即x1f+x2f>2x2f,D正确.二、填空题(每小题5分,共20分)5.(2020·潮州模拟)设函数f(x)=ex+e-x+x2,则使f(2x)>f(x+1)成立的x的取值范围是________.【解析】根据题意,函数f(x)=ex+e-x+x2,则f(-x)=e-x+ex+(-x)2=ex+e-x+x2=f(x),即函数f(x)为偶函数,又f′(x)=(ex)′++(x2)′=ex-e-x+2x.当x≥0时,有f′(x)≥0,即函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,f(2x)>f(x+1)⇒f(|2x|)>f(|x+1|)⇒|2x|>|x+1|,解得x<-或x>1,即x的取值范围为∪(1,+∞).答案:∪(1,+∞)6.(2020·深圳模拟)函数f(x)=x-2sinx,对任意的x1,x2∈[0,π],恒有|f(x1)-f(x2)|≤M,则M的最小值为________.【解析】因为f(x)=x-2sinx,所以f′(x)=1-2cosx,所以当00,f(x)单调递增.所以当x=时,f(x)有极小值,即最小值,且f(x)min=f=-2sin=-.又f(0)=0,f(π)=π,所以f(x)max=π.由题意得|f(x1)-f(x2)|≤M恒成立等价于M≥|f(x)max-f(x)min|=π-=+.所以M的最小值为+.答案:+7.设a>0,函数f(x)=x+,g(x)=x-lnx,若对任意的x1,x2∈[1,e],都有f(x1)≥g(x2)成立,则实数a的取值范围为________.【解析】因为g(x)=x-lnx,x∈[1,e],所以有g′(x)=1-≥0,函数g(x)单调递增,则g(x)max=g(e)=e-1.因为f(x)=x+,所以f′(x)=.令f′(x)=0,因为a>0,所以x=a.当0a≥.当1≤a≤e时,f(x)min=f(a)=2a≥e-1恒成立.当a>e时,f(x)在[1,e]上单调递减,f(x)min=f(e)=≥e-1恒成立.综上,a≥.答案:[,+∞)8.(2020·烟台模拟)已知函数f=x3-ex2+ax,g=,对于任意的x1∈,存在x2∈,使f′≤g,则实数a的取值范围为________;若不等式f+x30,所以a<+ex-x2.设h(x)=+ex-x2,则h′(x)=+e-x,显然h′(e)=0,当00,h(x)单调递增;当x>e时,h′(x)<0,h(x)单调递减.又h(2)=2e-2+,h(3)=3e-+,h(3)-h(2)=e-2.5+-=e-2.5+>0,则h(3)>h(2).又h(4)=4e-8+,h(4)-h(2)=2e-6<0,则h(4)
