§3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于A．1＋iB．1＋3iC．－1－iD．－1－3i解析z＝(4＋i)－(3－2i)＝1＋3i.答案B2．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析∵z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，∴对应的点在第二象限．答案B3．设z1＝2＋bi(b∈R)，z2＝a＋i(a∈R)，若z1＋z2＝0，则a＋bi＝A．1＋iB．2＋iC．3D．－2－i解析∵z1＋z2＝(a＋2)＋(b＋1)i＝0，∴a＝－2，b＝－1，∴a＋bi＝－2－i，故选D.答案D4．已知z1＝3－4i，z2＝－5＋2i，z1，z2对应的点分别为P1，P2，则P2P1对应的复数为A．－8＋6iB．8－6iC．8＋6iD．－2－2i解析∵P2P1＝OP1－OP2，∴P2P1对应的复数为：z1－z2＝3－4i－(－5＋2i)＝(3＋5)＋(－4－2)i＝8－6i.答案B5．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析根据复数加(减)法的几何意义，知以OA，OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形．答案B6．复数z1＝3－4xi，z2＝x＋3i，x∈R，复数z1－z2对应的点在第三象限，则x的取值范围是A．(3，＋∞)B.C.D.解析z1－z2＝3－4xi－(x＋3i)＝(3－x)＋(－4x－3)i.1由题意解之得：x>3.答案A二、填空题(每小题5分，共15分)7．设m∈R，复数z＝(2m2＋3i)＋(m－m2i)＋(－1＋2mi)，若z为纯虚数，则m＝________．解析∵z＝(2m2＋m－1)＋(3－m2＋2m)i是纯虚数，∴由①得m＝，m＝－1，代入②，m＝－1不合题意，舍去．故m＝.答案8．在复平面内O是原点，OA，OC，AB对应的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，那么BC对应的复数为________．解析BC＝－(OA－OC＋AB)，所以OC对应的复数为－[－2＋i－(3＋2i)＋(1＋5i)]＝4－4i.答案4－4i9．复平面内点A，B，C对应的复数分别为i，1，4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD，则|BD|等于________．解析∵BA＝OA－OB，∴向量BA对应的复数为－1＋i.∵BC＝OC－OB，∴向量BC对应的复数为3＋2i.又BD＝BA＋BC，∴向量BD对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i.∴|BD|＝|2＋3i|＝.答案三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，若z1－z2＝13－2i，求z1，z2.解析z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i.又∵z1－z2＝13－2i，∴(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i.∴解得∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i.z2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.11．(12分)已知2z＋|z|＝2＋6i，求z.解析设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入已知方程得2(x＋yi)＋＝2＋6i，即2x＋＋2yi＝2＋6i.由复数相等的定义得解得x＝，y＝3，所以z＝＋3i.又∵x＜1，∴x＝，∴z＝＋3i12．(13分)已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量BA对应的复数为1＋2i，向量BC对应的复数为3－i，求：(1)点C，D对应的复数；2(2)平行四边形ABCD的面积．解析(1)∵向量BA对应的复数为1＋2i，向量BC对应的复数为3－i，∴向量AC对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又OC＝OA＋AC，∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.∵AD＝BC，∴向量AD对应的复数为3－i，即AD＝(3，－1)．设D(x，y)，则AD＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，∴解得∴点D对应的复数为5.(2)∵BA·BC＝|BA||BC|cosB，∴cosB＝＝＝＝.∴sinB＝＝，∴S＝|BA||BC|sinB＝××＝7，∴平行四边形ABCD的面积为7.3
