第一课时等差数列的概念与通项公式[选题明细表]知识点、方法题号等差数列的判定1,9等差数列的基本运算2,4,6等差中项的应用3,8综合应用5,7,10,11,12,13基础巩固1.下列数列不是等差数列的是(D)(A)3,3,3,…,3,…(B)-1,1,3,…,2n-3,…(C)-1,-4,-7,…,2-3n,…(D)0,1,3,…,,…解析:直接用等差数列的定义判断.选项A,an+1-an=0,是常数列,也是等差数列;选项B,an+1-an=2,是公差为2的等差数列;选项C,an+1-an=-3,是公差为-3的等差数列;选项D,a2-a1=1,a3-a2=2,不是同一个常数,故选D.2.已知数列3,9,15,…,3(2n-1),…,那么81是数列的(C)(A)第12项(B)第13项(C)第14项(D)第15项解析:an=3(2n-1)=6n-3,由6n-3=81,得n=14.故选C.3.设x是a与b的等差中项,x2是a2与-b2的等差中项,则a,b的关系是(C)(A)a=-b(B)a=3b(C)a=-b或a=3b(D)a=b=0解析:由等差中项的定义知,x=,x2=,所以=()2,即a2-2ab-3b2=0.故a=-b或a=3b.故选C.14.若等差数列{an}中,已知a1=,a2+a5=4,an=35,则n等于(D)(A)50(B)51(C)52(D)53解析:依题意,a2+a5=a1+d+a1+4d=4,代入a1=,得d=.所以an=a1+(n-1)d=+(n-1)×=n-,令an=35,解得n=53.故选D.5.(2019·皇姑区期中)数列{an}中,a1=1,a2=2,且数列{}是等差数列,则a3等于(C)(A)(B)3(C)5(D)2007解析:因为a1=1,a2=2,且数列{}是等差数列,所以=+,即=+,解得a3=5,故选C.6.(2019·临沂高二检测)已知{an}为等差数列,a1+a3=22,a6=7,则a5=.解析:由条件可知解得所以a5=12+4×(-1)=8.答案:87.(2019·大连高二检测)已知数列{an}满足:=+4,且a1=1,an>0,则an=.解析:根据已知条件=+4,即-=4.因为数列{}是公差为4的等差数列,=+(n-1)·4=4n-3.2因为an>0,所以an=.答案:8.若,,是等差数列,求证:a2,b2,c2成等差数列.证明:由已知得+=,通分有=.进一步变形有2(b+c)(a+b)=(2b+a+c)(a+c),整理,得a2+c2=2b2,所以a2,b2,c2成等差数列.能力提升9.已知数列{an},对任意的n∈N*,点Pn(n,an)都在直线y=2x+1上,则{an}为(A)(A)公差为2的等差数列(B)公差为1的等差数列(C)公差为-2的等差数列(D)非等差数列解析:由题意知an=2n+1,所以an+1-an=2,应选A.10.(2019·石家庄高二检测)如果a1,a2,…,a8为各项都大于零的等差数列,且公差d≠0,则(B)(A)a3a6>a4a5(B)a3a6
a4+a5(D)a3a6=a4a5解析:由通项公式,得a3=a1+2d,a6=a1+5d,那么a3+a6=2a1+7d,a3a6=(a1+2d)(a1+5d)=+7a1d+10d2,同理a4+a5=2a1+7d,a4a5=+7a1d+12d2,显然a3a6-a4a5=-2d2<0,故选B.11.(2019·沈阳二中月考)在△ABC中,若A,B,C的度数成等差数列,且lga,lgb,lgc也成等差数列,则△ABC的形状一定是.解析:因为三内角A,B,C成等差数列,所以2B=A+C,又A+B+C=180°,所以B=60°,又lga,lgb,lgc成等差数列,所以2lgb=lga+lgc,即b2=ac,由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cosB=a2+c2-ac,所以ac=a2+c2-ac,所以a2+c2-2ac=0,所以(a-c)2=0,所以a=c.故△ABC为正三角形.答案:正三角形12.已知数列{an}满足a1=1,且an=2an-1+2n(n≥2,且n∈N*).(1)求a2,a3;3(2)证明:数列{}是等差数列;(3)求数列{an}的通项公式an.(1)解:a2=2a1+22=6,a3=2a2+23=20.(2)证明:因为an=2an-1+2n(n≥2,且n∈N*),所以=+1(n≥2,且n∈N*),即-=1(n≥2,且n∈N*),所以数列{}是首项为=,公差d=1的等差数列.(3)解:由(2),得=+(n-1)×1=n-,所以an=(n-)·2n.探究创新13.(2019·临沂高二期中)已知数列{an}满足a1=3,an-2anan+1-an+1=0,求该数列的通项公式.解:由an-2anan+1-an+1=0,得-=2.又因为a1=3,所以=,所以数列{}是以为首项,2为公差的等差数列,所以=+(n-1)×2=,所以an=.45
