2.3等差数列的前n项和[选题明细表]知识点、方法题号等差数列前n项和公式的基本应用1,2,10,12等差数列前n项和的性质4,7,8,9等差数列前n项和的最值7,11an与Sn的关系3,5,11基础巩固1.已知等差数列{an}的通项公式为an=2-3n,则{an}的前n项和Sn等于(A)(A)-n2+(B)-n2-(C)n2+(D)n2-解析:因为an=2-3n,所以a1=2-3=-1,所以Sn==-n2+.故选A.2.等差数列{an}中,d=2,an=11,Sn=35,则a1等于(D)(A)5或7(B)3或5(C)7或-1(D)3或-1解析:Sn==35.所以na1+11n=70,①an=a1+(n-1)×2=11.所以a1+2n=13.②由①②得a1=3或a1=-1.故选D.3.(2019·潮州期末)数列{an}的前n项和Sn=2n2+n,那么它的通项公式是(C)(A)an=2n-1(B)an=2n+1(C)an=4n-1(D)an=4n+11解析:因为Sn=2n2+n,所以a1=2×12+1=3,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2+n-[2(n-1)2+(n-1)]=4n-1,把n=1代入上式可得a1=3,即也符合,故通项公式为an=4n-1,故选C.4.等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列{an}前9项的和S9等于(B)(A)66(B)99(C)144(D)297解析:因为a1+a7=2a4,a3+a9=2a6,所以3a4=39,3a6=27,所以a4=13,a6=9,所以S9===99.故选B.5.(2019·潍坊高二检测)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3n-2,则an=.解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2×3n-1,当n=1时,a1=S1=3-2=1,不符合上式,所以an=答案:6.(2019·大理州期末)等差数列{an}中,a1>0,S3=S10,则当Sn取最大值时,n的值为.解析:因为等差数列{an}中,a1>0,S3=S10,所以S10-S3=a4+a5+…+a10=7a7=0,即a7=0,所以等差数列{an}中前6项为正数,第7项为0,从第8项开始为负数,所以当Sn取最大值时,n的值为6或7.答案:6或77.有两个等差数列{an},{bn}满足=,求.解:设{an},{bn}的前n项和分别为An,Bn,则有=,2其中An=.由于a1+a9=2a5,即=a5,故A9==a5×9.同理B9=b5×9.故=.故===.能力提升8.(2019·威海高二检测)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则等于(A)(A)1(B)-1(C)2(D)解析:====×=1.故选A.9.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于(B)(A)63(B)45(C)36(D)27解析:因为a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列前n项和的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6构成等差数列.所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45.故选B.10.(2019·长沙高二检测)已知等差数列{an}的公差为1,且a1+a2+…+a98+a99=99,则a3+a6+a9+…+a96+a99=.解析:由a1+a2+…+a98+a99=99,得399a1+=99.所以a1=-48,所以a3=a1+2d=-46.又因为{a3n}是以a3为首项,以3为公差的等差数列.所以a3+a6+a9+…+a99=33a3+×3=33(48-46)=66.答案:6611.(2019·山东德州检测)已知在正整数数列{an}中,前n项和Sn满足Sn=(an+2)2.(1)求证:{an}是等差数列;(2)若bn=an-30,求数列{bn}的前n项和的最小值.(1)证明:由Sn=(an+2)2,得Sn-1=(an-1+2)2(n≥2).当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an+2)2-(an-1+2)2,整理得(an+an-1)(an-an-1-4)=0.所以an-an-1=4,即{an}为等差数列.(2)解:因为S1=(a1+2)2,所以a1=(a1+2)2,解得a1=2.所以an=2+4(n-1)=4n-2.所以bn=an-30=(4n-2)-30=2n-31.令bn<0,得n<,所以S15为前n项和最小值.4S15=b1+b2+…+b15===-225.探究创新12.(2019·杭州高二检测)已知等差数列{an}的公差d>0,前n项和为Sn,且a2a3=45,S4=28.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=(c为非零常数),且数列{bn}也是等差数列,求c的值.解:(1)因为S4=28,所以=28,a1+a4=14,a2+a3=14,又a2a3=45,公差d>0,所以a2
