第二章几个重要的不等式章末检测试卷(二)(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知m2＋n2＝2，t2＋s2＝8，则|mt＋ns|的最大值为()A．2B．4C．8D．16答案B解析 (m2＋n2)(t2＋s2)≥(mt＋ns)2，∴(mt＋ns)2≤2×8＝16，∴|mt＋ns|≤4.当且仅当ms＝nt时，等号成立．2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)时，第一步应验证不等式()A．1＋＜2－B．1＋＋＜2－C．1＋＜2－D．1＋＋＜2－答案A解析第一步验证n＝2时不等式成立，即1＋＜2－.3．已知a，b，c为正数，则(a＋b＋c)的最小值为()A．1B.C．3D．4答案D解析(a＋b＋c)＝[()2＋()2]≥2＝22＝4，当且仅当a＋b＝c时取等号．4．设a，b，c为正数，a＋b＋4c＝1，则＋＋2的最大值是()A.B.C．2D.答案B解析1＝a＋b＋4c＝()2＋()2＋(2)2＝[()2＋()2＋(2)2]·(12＋12＋12)≥(＋＋2)2·，∴(＋＋2)2≤3，即＋＋2≤，当且仅当a＝b＝4c时等号成立．5．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝2an＋an－1(n∈N＋)，用数学归纳法证明a4n能被41整除，假设a4k能被4整除，然后应该证明()A．a4k＋1能被4整除B．a4k＋2能被4整除C．a4k＋3能被4整除D．a4k＋4能被4整除答案D解析假设当n＝k时，即a4k能被4整除，然后应证明当n＝k＋1时，即a4(k＋1)＝a4k＋4能被4整除．6．设a，b，c均为实数，则的最大值为()A.B.C.D.答案B解析由(a2＋2b2＋3c2)≥2，即(a2＋2b2＋3c2)·≥(a＋b＋c)2，∴≤.∴≤.7．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·(2n－1)(n∈N＋)”时，从“n＝k到n＝k＋1”时，左边应增加的式子是()A．2k＋1B．2k＋3C．2(2k＋1)D．2(2k＋3)答案C解析当n＝k＋1时，(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·(2k＋1)·(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·2(2k＋1)，∴2(2k＋1)是从n＝k到n＝k＋1时，左边应增加的式子．8．若x，y，z是非负实数，且9x2＋12y2＋5z2＝9，则函数u＝3x＋6y＋5z的最大值为()A．9B．10C．14D．15答案A解析u2＝(3x＋6y＋5z)2＝[1×(3x)＋·(2y)＋·(z)]2≤[12＋()2＋()2]·(9x2＋12y2＋5z2)＝9×9＝81.∴u≤9.当且仅当＝＝时，取等号．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9．用数学归纳法证明cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α＝(sinα≠0，n∈N＋)，在验证当n＝1时，等式右边的式子是________．答案cosα解析当n＝1时，右边＝＝＝cosα.210．仔细观察下列不等式：>，>，>，>，则第n个不等式为______________________________．答案…>(n∈N＋)11．观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2，1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为____________________________．答案1＋＋＋…＋>(n∈N＋)解析1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1,31＝25－1，归纳第n个式子为1＋＋＋…＋>(n∈N＋)．12．设n∈N＋，f(n)＝5n＋2·3n－1＋1，通过计算n＝1,2,3,4时f(n)的值，可以猜想f(n)能被数值________整除．答案8三、解答题(本大题共6小题，每小题10分，共60分)13．求三个实数x，y，z，使得它们同时满足下列方程：2x＋3y＋z＝13,4x2＋9y2＋z2－2x＋15y＋3z＝82.解将两个方程相加，得(2x)2＋(3y＋3)2＋(z＋2)2＝108，①又第一个方程可变形为2x＋(3y＋3)＋(z＋2)＝18，②由①②及柯西不等式，得(2x)2＋(3y＋3)2＋(z＋2)2≥[2x＋(3y＋3)＋(z＋2)]2，即108≥×182＝108，即柯西不等式中的等号成立．所以2x＝3y＋3＝z＋2＝6，故x＝3，y＝1，z＝4.14．(2017·江苏)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8.证明由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，所以(ac＋bd)2≤64，因此ac＋bd≤8.15．a，b，c都是正数，求证：an(a2－bc)＋bn(b2－ac)＋cn(c2－ab)≥0(n是任意正数)．证明设a≥b≥c>0，只需证an＋2＋bn＋2＋cn＋2≥anbc＋bnca＋cnab.(*)由不等式的性质知，an＋1≥bn＋1≥cn＋1，又a≥b≥c，3由排序原理，得an＋2＋bn＋2＋cn＋2≥an＋1b＋bn＋1c＋cn＋1a.①又由不等式单调性知，ab≥ac≥bc，an≥bn≥cn.∴an＋1b＋bn＋1c＋cn＋1a≥anbc＋bnca＋cnab.②由①②可得不等式(*)成立．∴原不等式成立．16．用数学归...
