第1课时等比数列（一）【基础练习】1．等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝()A．B．－C．2D．－2【答案】C【解析】∵等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，∴a3＋a5＝q(a2＋a4)＝20q＝40，解得q＝2.故选C．2．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是()A．a≠1B．a≠0或a≠1C．a≠0D．a≠0且a≠1【答案】D【解析】∵等比数列的每一项都不能为零，∴依题意得a≠0且a≠1.故选D．3．已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N*)，则下列结论正确的是()A．数列{an}是等比数列B．数列a2，a3，…，an是等比数列C．数列{an}是等差数列D．数列a2，a3，…，an是等差数列【答案】B【解析】由an＋1＝3Sn(n≥1)，得an＝3Sn－1(n≥2)，两式作差得an＋1－an＝3an(n≥2)，即an＋1＝4an(n≥2)，∵a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，∴a2＝3.∴数列a2，a3，…，an是公比为4的等比数列．故选B．4．(2019年北京期末)若Sn为等差数列{an}的前n项和，S9＝－36，S13＝－104，则a5与a7的等比中项为________．【答案】±4【解析】在等差数列中，S9＝a1＋a2＋…＋a9＝9a5＝－36，∴a5＝－4；S13＝a1＋a2＋…＋a13＝13a7，∴a7＝－8.∴a5与a7的等比中项为±＝±4.5．已知数列{an}的通项公式an＝2n－6(n∈N*)．(1)求a2，a5；(2)若a2，a5分别是等比数列{bn}的第1项和第2项，求数列{bn}的通项公式bn.【解析】(1)由题意可得a2＝2×2－6＝－2，a5＝2×5－6＝4.(2)由题意可得b1＝－2，b2＝4，故数列{bn}的公比q＝＝－2，故bn＝－2×(－2)n－1＝(－2)n.6．已知等比数列{an}中，a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n.【解析】设等比数列{an}的公比为q，因为a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，所以＝q＝.故a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝a1＋a1＝36，解得a1＝27，故通项公式an＝27×n－1＝28－n.1令28－n＝＝2－1，解得n＝9.7．已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn且Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)．求证：数列{an＋1}是等比数列．【证明】Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)．当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，两式相减，得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2(an＋1)．当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，∴a2＋a1＝2a1＋6.又a1＝5，∴a2＝11，从而a2＋1＝2(a1＋1)．故总有an＋1＋1＝2(an＋1)，n∈N*.又a1＝5，a1＋1≠0，从而＝2，即数列{an＋1}是首项为6，公比为2的等比数列．【能力提升】8．下列四组数：(1)，，；(2)2，－2，4；(3)a2，a4，a8；(4)lg2，lg4，lg8；那么()A．(1)是等差数列，(2)是等比数列B．(2)和(3)是等比数列C．(3)是等比数列，(4)是等差数列D．(2)是等比数列，(4)是等差数列【答案】D【解析】(1)，，，是公比为的等比数列；(2)2，－2，4，是公比为－的等比数列；(3)a2，a4，a8，a＝0时是等差数列；a＝1时既是等差数列，又是等比数列；a≠0,1时，既不是等差数列，也不是等比数列；(4)lg2，lg4，lg8，即lg2,2lg2,3lg2，是公差为lg2的等差数列．因此D正确．故选D．9．各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1且a2，a3，a1成等差数列，则的值为()A．B．C．D．或【答案】C【解析】∵a2，a3，a1成等差数列，∴a3＝a2＋a1.∵{an}是公比为q的等比数列，∴a1q2＝a1q＋a1.∴q2－q－1＝0.∵q＞0，∴q＝.∴＝＝＝.10．数列{an}是公差不为0的等差数列且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为()A．B．4C．2D．【答案】C【解析】∵a1，a3，a7为等比数列{bn}中的连续三项，∴a＝a1·a7.设{an}的公差为d，则d≠0，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，∴a1＝2d，∴公比q＝＝＝2.故选C．11．在数列{an}中，已知a2＝4，a3＝15且数列{an＋n}是等比数列，则an＝________.【答案】2·3n－1－n【解析】∵数列{an＋n}是等比数列，∴(a2＋2)2＝(a1＋1)(a3＋3)，∴(4＋2)2＝(a1＋1)×(15＋3)，解得a1＝1.∴公比q＝＝＝3.∴an＋n＝2×3n－1.∴an＝2·3n－1－n.212．已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn＋1＝4an＋2(n＝1,2，…)，a1＝1.(1)设bn＝an＋1－2an，求证：数列{bn}是等比数列；(2)设cn＝，求证：数列{cn}是等差数列．【证明】(1)∵Sn＋1＝4an＋2，∴Sn＋2＝4an＋1＋2，两式相减，得Sn＋2－Sn＋1＝4(an＋1－an)，即an＋2＝4an＋1－4an，变形得an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)．∵bn＝an＋1－2an，∴bn＋1＝2bn.∵a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝3a1＋2＝5.∴b1＝a2－2a1＝3.∴数列{bn}是以3为首项，以2为公比的等比数列．(2)∵cn＝，∴cn＋1－cn＝－＝.∵bn＝3·2n－1，∴cn＋1－cn＝(n＝1,2，…)，∴数列{cn}是以为首项，为公差的等差数列．3
