高中数学 第3章 导数及其应用 3.1.1 平均变化率学业分层测评 苏教版选修1-1-苏教版高二选修1-1数学试题VIP专享VIP免费

学业分层测评(十三)平均变化率(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.在函数变化率的定义中，关于自变量的增量Δx的说法：①Δx＜0；②Δx＞0；③Δx＝0；④Δx≠0.其中正确的是________(填序号).【导学号：24830064】【解析】由平均变化定义知Δx≠0.【答案】④2.函数f(x)＝在x＝1到x＝2之间的平均变化率为________.【解析】＝＝－.【答案】－3.(2016·徐州高二检测)函数y＝－3x2＋6在区间1,1＋Δx]内的平均变化率是________.【解析】函数在1,1＋Δx]内的平均变化率是＝＝－6－3Δx.【答案】－6－3Δx4.某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值.t/min0102030405060708090c(t)/(mg/mL)0.840.890.940.981.001.000.970.900.790.63服药后30～70min这段时间内，药物浓度的平均变化率为________.【解析】＝＝－0.002.【答案】－0.0025.质点运动规律s＝t2＋3，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于________.【解析】由平均速度表示式，函数平均变化率：＝＝6＋Δt.【答案】6＋Δt6.函数f(x)＝x3在区间(－1,3)上的平均变化率为______.【解析】函数f(x)在(－1,3)上的平均变化率为＝＝7.【答案】77.一棵树2015年1月1日高度为4.5m,2016年1月1日高度为4.98m，则这棵树2015年高度的月平均变化率为________.【解析】＝0.04.【答案】0.048.设自变量x的增量为Δx，则函数y＝log2x的增量为________.【解析】函数y＝log2x的增量为log2(x＋Δx)－log2x＝log2＝log2.【答案】log2二、解答题9.过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率.【解】∴割线PQ的斜率k＝＝＝(Δx)2＋3Δx＋3.设当Δx＝0.1的割线的斜率为k1，则k1＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31.110.求函数y＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx的值为，哪一点附近平均变化率最大？【解】在x＝1附近的平均变化率为k1＝＝＝2＋Δx；在x＝2时附近的平均变化率为k2＝＝＝4＋Δx；在x＝3时附近的平均变化率为k3＝＝＝6＋Δx；若Δx＝，则k1＝2＋＝，，k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.由于k1＜k2＜k3；∴在x＝3附近的平均变化率最大.能力提升]1.已知A，B两车在十字路口相遇后，又沿不同方向继续前进，已知A车向北行驶，速度为30km/h,B车向东行驶，速度为40km/h，那么A，B两车间直线距离增加的速度为________.【导学号：24830065】【解析】设经过th两车间的距离为skm，则s＝＝50t(km)，增加的速度为＝50(km/h).【答案】50km/h2.函数y＝x2在x0到x0＋Δx(Δx＞0)之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是________.【解析】∵k1＝＝＝2x0＋Δx，k2＝＝＝2x0－Δx，又∵Δx＞0，∴k1＞k2.【答案】k1＞k23.在高台跳水运动中，运动员相对于水面高度与起跳时间t的函数关系为h(t)＝c＋bt－at2(a＞0，b＞0)，下列说法：①＜；②＝；③＝0；④运动员在0≤t≤这段时间内处于静止状态.其中正确的是________.【解析】利用变化率的几何意义解决h(t)＝c＋bt－at2(a＞0，b＞0)的对称轴为t＝，故h＝h(0)，则＝0.【答案】③4.试比较正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝附近的平均变化率哪一个大？【解】当自变量从0到Δx时，函数的平均变化率为k1＝＝；当自变量从变到Δx＋时，函数的平均变化率为k2＝＝.由于是在x＝0和x＝的附近的平均变化率，可知Δx较小，但Δx既可以为正，又可以为负.当Δx＞0时，k1＞0，k2＜0，此时有k1＞k2；当Δx＜0时，k1－k2＝－＝＝，∵Δx＜0，∴Δx－＜－，∴sin＜－，从而有sin＜－1，sin＋1＜0，∴k1－k2＞0，即k1＞k2.综上可知，正弦函数y＝sinx在x＝0附近的平均变化率大于在x＝附近的平均变化率.2