（江苏专用）高考数学大一轮复习 第六章 平面向量与复数 第34课 平面向量的基本定理及坐标表示 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第34课平面向量的基本定理及坐标表示(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修4P79练习2改编)在平面直角坐标系中，已知点P(1，2)，Q(4，3)，那么向量PQ�=.【答案】(3，1)【解析】注意向量的起点与终点.2.(必修4P82习题6改编)在△ABC中，点P在BC上，且BP�=2PC�，点Q是AC的中点，若PA�=(4，3)，PQ�=(1，5)，则BC�=.【答案】(-6，21)【解析】BC�=3PC�=3(2PQ�-PA�)=6PQ�-3PA�=(6，30)-(12，9)=(-6，21).3.(必修4P87习题1改编)已知向量a=(1，2)，b=(3，1)，那么|2a+3b|=.【答案】170【解析】|2a+3b|=|(2，4)+(9，3)|=|(11，7)|=22117=170.4.(必修4P73习题6改编)已知点A(1，-3)和向量a=(3，4)，若AB�=2a，则点B的坐标为.【答案】(7，5)【解析】设O为坐标原点，因为AB�=2a=(6，8)=OB�-OA�，所以OB�=AB�+OA�=(6，8)+(1，-3)=(7，5)，所以点B的坐标为(7，5).5.(必修4P73习题1改编)已知点A(1，2)，B(4，2)，向量a=(x+y，x-2y)，若a与向量AB�相等，则x-y=.【答案】11【解析】因为AB�=(3，0)，a=AB�，所以3-20xyxy，，解得21xy，，所以x-y=1.1.平面向量的基本定理(1)e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使得a=λ1e1+λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的坐标形式在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底.对平面内任意一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj(向量的分量表示)，记作a=(x，y)(向量的坐标表示)，其中x叫作a的横坐标，y叫作a的纵坐标.3.平面向量的坐标运算(1)设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a+b=(x1+x2，y1+y2)，a-b=(x1-x2，y1-y2)，λa=(λx1，λy1).(2)若A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么AB�的坐标为(x2-x1，y2-y1).【要点导学】要点导学各个击破平面向量基本定理的应用例1在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是ADBC�，的中点，DCAB=k(k≠1)，设AD�=e1，AB�=e2，选择基底{e1，e2}，试写出向量DCBCMN�，，在此基底下的分解式.2【思维引导】由DCAB=k(k≠1)，易求出DC�，再由AB�+BC�+CD�+DA�=0求得BC�，最后利用MN�+NB�+BA�+AM�=0，求得MN�.(例1)【解答】如图，因为AB�=e2，且DCAB=k，所以DC�=kAB�=ke2.又因为AB�+BC�+CD�+DA�=0，所以BC�=-AB�-CD�-DA�=-AB�+DC�+AD�=-e2+ke2+e1=e1+(k-1)e2.而MN�+NB�+BA�+AM�=0，所以MN�=-NB�-BA�-AM�=BN�+AB�-AM�=12BC�+e2-12AD�=12[e1+(k-1)e2]+e2-12e1=12ke2.【精要点评】应用平行向量的基本定理及向量的多边形加法法则是解决本题的关键.变式(1)如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设AD�=a，AB�=b，若AB�=2DC�，则AO�=.(用a和b表示)(变式(1))(变式(2))(2)如图，向量OA�=a，OB�=b，OC�=c，A，B，C在一条直线上，且AC�=-3CB�，则c=.(用a，b表示)(3)已知点P为△ABC内一点，且3AP�+4BP�+5CP�=0，延长AP交BC于点D，若AB�=a，AC�=b，用a，b表示向量APAD�，.3(1)【答案】23a+13b【解析】因为AB�=2DC�，所以△DOC∽△BOA，且OCOA=12，所以AO�=23AC�=23(AD�+DC�)=2132ab=23a+13b.(2)【答案】-12a+32b【解析】因为AC�=-3CB�，所以OC�-OA�=-3(OB�-OC�)，所以OC�=-12OA�+32OB�，即c=-12a+32b.(3)【解答】因为BP�=AP�-AB�=AP�-a，CP�=AP�-AC�=AP�-b，又因为3AP�+4BP�+5CP�=0，所以3AP�+4(AP�-a)+5(AP�-b)=0，化简得AP�=13a+512b.设AD�=tAP�(t∈R)，则AD�=13ta+512tb.①又设BD�=kBC�(k∈R)，由BC�=AC�-AB�=b-a，得BD�=k(b-a).而AD�=AB�+BD�=a+BD�，所以AD�=a+k(b-a)=(1-k)a+kb.②由①②，得11-3512tktk，，解得t=43.代入①，有AD�=49a+59b.4平面向量的坐标运算例2已知点A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).设AB�=a，BC�=b，CA�=c，且CM�=3c，CN�=-2b.(1)求3a+b-3c；(2)求满足a=mb+nc的实数m，n的值；(3)求点M，N的坐标及向量MN�的坐标.【解答】由已知得a=(5，-5)，b=(-6，-3)，c=(1，8).(...