高中数学 第三章 不等式 3.4.1 基本不等式练习（含解析）新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP免费

第26课时基本不等式知识点一利用基本不等式比较大小1．下列不等式中正确的是()A．a＋≥4B．a2＋b2≥4abC．≥D．x2＋≥2答案D解析当a＜0时，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错；a＝4，b＝16，则＜，故C错；由基本不等式可知D正确．2．已知两个不相等的正数a，b，设P＝，Q＝，M＝，则有()A．P＞Q＞MB．Q＞P＞MC．P＞M＞QD．M＞P＞Q答案D解析由基本不等式得P＞Q，又M2－P2＝＞0，得M＞P，故M＞P＞Q．故选D．3．已知正数x，y满足xy＝36，则x＋y与12的大小关系是________．答案x＋y≥12解析由x，y为正数，得x＋y≥2＝12．知识点二利用基本不等式证明不等式4．(1)已知a，b，c∈R＋，求证：＋＋≥a＋b＋c．(2)已知a，b，c为不全相等的正实数．求证：a＋b＋c＞＋＋．证明(1) a，b，c∈R＋，，，均大于0，又＋b≥2＝2a，＋c≥2＝2b，＋a≥2＝2c，三式相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，∴＋＋≥a＋b＋c．(2) a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b≥2＞0，b＋c≥2＞0，c＋a≥2＞0．∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，即a＋b＋c≥＋＋．由于a，b，c为不全相等的正实数，故三个等号不能同时成立．∴a＋b＋c＞＋＋．5．已知a，b，c∈R，求证：＋＋≥(a＋b＋c)．证明 ≤，∴≥＝(a＋b)(a，b∈R，等号在a＝b时成立)．同理，≥(b＋c)(等号在b＝c时成立)．≥(a＋c)(等号在a＝c时成立)．三式相加得＋＋1≥(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)＝(a＋b＋c)(等号在a＝b＝c时成立)．易错点一忽视基本不等式适用条件6．给出下列结论：(1)若a＞0，则a2＋1＞a．(2)若a＞0，b＞0，则≥4．(3)若a＞0，b＞0，则(a＋b)≥4．(4)若a∈R且a≠0，则＋a≥6．其中恒成立的是________．易错分析易忽略不等式成立的前提是为正数而误认为(4)也正确．答案(1)(2)(3)解析因为a>0，所以a2＋1≥2＝2a>a，故(1)恒成立．因为a＞0，所以a＋≥2，因为b＞0，所以b＋≥2，所以当a＞0，b＞0时，≥4，故(2)恒成立．因为(a＋b)＝2＋＋，又因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2，所以(a＋b)≥4，故(3)恒成立．因为a∈R且a≠0，不符合基本不等式的条件，故＋a≥6是错误的．易错点二忽视定值的条件7．求函数f(x)＝2x(5－3x)，x∈的最大值．易错分析x∈，∴2x＞0，5－3x＞0，∴f(x)＝2x(5－3x)＝2[]2≤22＝．当且仅当x＝5－3x，即x＝∈时，等号成立，此时＝．故f(x)的最大值为．不符合基本不等式求最值的条件：和或积为定值．解x∈，∴2x＞0，5－3x＞0，f(x)＝2x(5－3x)＝[]2≤2＝．当且仅当3x＝5－3x，即x＝∈时，等号成立，故所求函数的最大值为．一、选择题1．设0＜a＜b，且a＋b＝1，在下列四个数中最大的是()A．B．bC．2abD．a2＋b22答案B解析 ab＜2，∴ab＜，∴2ab＜． ＞＞0，∴＞，∴a2＋b2＞． b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)＞0，∴b＞a2＋b2，∴b最大．2．下列不等式一定成立的是()A．x＋≥2(x≠0)B．x2＋≥1(x∈R)C．x2＋1≤2x(x∈R)D．x2＋5x＋6≥0(x∈R)答案B解析对于A，当x＞0时成立；对于B，x2＋1＋≥2，当且仅当x＝0时等号成立；对于C，应为x2＋1≥2x(x∈R)；对于D，x2＋5x＋6＝x＋2－≥－；综上所述，故选B．3．若a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是()A．a－b＞－B．＜C．>D．＞答案C解析逐一考查所给的选项：当a＝2，b＝时，a－b＝1，－＝2，不满足a－b＞－，A错误；当c＝0时，＝＝0，不满足＜，B错误；当a＝2，b＝1时，＝，＝2，不满足＞，D错误；若a＞b＞0，则a＋b>2，即a＋b>，整理可得>，C正确．故选C．4．设a，b是两个实数，且a≠b，①a5＋b5＞a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③＋＞2．上述三个式子恒成立的有()A．0个B．1个C．2个D．3个答案B解析①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)2(a3＋b3)＞0不恒成立；(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；＋＞2或＋＜－2．故选B．5．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么()A．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一B．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一D．ab≥c＋d，且等号...