高考达标检测（二十一）平面向量的基本运算一、选择题1.(2017·长春模拟)如图所示，下列结论正确的是()①PQ＝a＋b；②PT＝a－b；③PS＝a－b；④PR＝a＋b.A．①②B．③④C．①③D．②④解析：选C①根据向量的加法法则，得PQ＝a＋b，故①正确；②根据向量的减法法则，得PT＝a－b，故②错误；③PS＝PQ＋QS―→＝a＋b－2b＝a－b，故③正确；④PR＝PQ＋QR―→＝a＋b－b＝a＋b，故④错误，故选C.2．(2017·长沙一模)已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是()A．－B.C.D.解析：选AAB＝OB－OA＝(4－k，－7)，AC＝OC－OA＝(－2k，－2)．∵A，B，C三点共线，∴AB，AC共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.3．(2016·嘉兴调研)已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA＋OB＋CO＝0，则△ABC的内角A等于()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选A由OA＋OB＋CO＝0得，OA＋OB＝OC，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故A＝30°.4．(2017·武汉武昌区调研)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD等于()A．OMB．2OMC．3OMD．4OM解析：选D因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以OA＋OC＝2OM，OB＋OD＝2OM，所以OA＋OB＋OC＋OD＝4OM，故选D.5．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，则AD＋BE＋CF与BC()A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直解析：选A由题意得AD＝AB＋BD＝AB＋BC，BE＝BA＋AE＝BA＋AC，CF＝CB＋BF＝CB＋BA，因此AD＋BE＋CF＝CB＋(BC＋AC－AB)＝CB＋BC＝－BC，故AD＋BE＋CF与BC反向平行．6.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且AM＝xAB，AN＝yAC，则的值为()A．3B.C．2D.解析：选B利用三角形的性质，过重心作平行于底边BC的直线，易得x＝y＝，则＝.7．(2017·兰州模拟)已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝()A.B.C.D.解析：选B因为a∥b，所以(1－sinθ)×(1＋sinθ)－1×＝0，得sin2θ＝，所以sinθ＝±，故锐角θ＝.8．已知△ABC是边长为4的正三角形，D，P是△ABC内的两点，且满足AD＝(AB＋AC)，AP＝AD＋BC，则△APD的面积为()A.B.C.D．2解析：选A取BC的中点E，连接AE，由于△ABC是边长为4的正三角形，则AE⊥BC，AE＝(AB＋AC)，又AD＝(AB＋AC)，所以点D是AE的中点，AD＝.取AF＝BC，以AD，AF为邻边作平行四边形，可知AP＝AD＋BC＝AD＋AF.而△APD是直角三角形，AF＝，所以△APD的面积为××＝.二、填空题9．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC＝5e1，DC＝3e2，则OC＝________.(用e1，e2表示)解析：在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以OC＝AC＝(AB＋AD)＝(DC＋BC)＝(5e1＋3e2)＝e1＋e2.答案：e1＋e210．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若BD＝xAB＋yAC＋zAS，则x＋y＋z＝________.解析：依题意得BD＝AD－AB＝(AS＋AC)－AB＝－AB＋AC＋AS，因此x＋y＋z＝－1＋＋＝0.答案：011．(2017·贵阳模拟)已知平面向量a，b满足|a|＝1，b＝(1,1)，且a∥b，则向量a的坐标是________．解析：设a＝(x，y)．∵平面向量a，b满足|a|＝1，b＝(1,1)，且a∥b，∴＝1，x－y＝0.解得x＝y＝±.∴a＝或.答案：或12．(2016·抚顺二模)如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，即λ＋μ的值为________．解析：如图，构成平行四边形，∵∠OCD＝90°，|OC|＝2，∠COD＝30°，∴|CD|＝2×＝2＝|OE|＝|μ|，|OD|＝＝|λ|＝4，注意共线的条件和单位向量有λ＋μ＝6.答案：6三、解答题13.图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝AD，AB＝a，AC＝b.(1)用a，b表示向量AD，AE，AF，BE，BF；(2)求证：B，E，F三点共线．解：(1)延长AD到G，使AD＝AG，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，所以AG＝a＋b，AD＝AG＝(a＋b)，AE＝AD＝(a＋b)，AF＝AC＝b，BE＝AE－AB＝(a＋b)－a＝(b－2a)，BF＝AF－AB＝b－a＝(b－2a)．(2)证明：由(1)可知BE＝BF，又因为BE，BF有公共点B，所以B，E，F三点共线．14．(2017·郑州模拟)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1，2)，c＝(4,1)．(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标．解：(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－.(2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝，∴解得或∴d的坐标为(3，－1)或(5,3)．
