课时跟踪检测（十七）双曲线及其标准方程一、基本能力达标1．双曲线－＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为()A．1或21B．14或36C．2D．21解析：选D设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|＝11，根据双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝10，所以|PF2|＝1或|PF2|＝21，而1＜c－a＝7－5＝2，故舍去|PF2|＝1，所以点P到另一个焦点的距离为21，故选D.2．已知双曲线过点P1和P2，则双曲线的标准方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选B因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．因为P1，P2两点在双曲线上，所以解得于是所求双曲线的标准方程为－＝1.3．k<2是方程＋＝1表示双曲线的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：选A k<2⇒方程＋＝1表示双曲线，而方程＋＝1表示双曲线⇒(4－k)(k－2)<0⇒k<2或k>4⇒/k<2.4．设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，PF1·PF2的值为()A．2B．3C．4D．6解析：选B设点P(x0，y0)，依题意得|F1F2|＝2＝4，S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝2，∴|y0|＝1.又－y＝1，∴x＝3(y＋1)＝6.∴PF1·PF2＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝x＋y－4＝3.5．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，)或(3，－)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：46．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在直线y＝x上，则C的方程为________．解析：点P(2,1)在直线y＝x上，则1＝，a＝2b①.双曲线的焦距为10，则有a2＋b2＝52，将①代入上式可得b2＝5，从而a2＝20，故双曲线C的方程为－＝1.答案：－＝17．已知双曲线C1：x2－＝1.求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程．解：双曲线C1的焦点坐标为(，0)，(－，0)，设双曲线C2的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则解得所以双曲线C2的标准方程为－y2＝1.8．若双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，|F1F2|＝10，P为双曲线上一点，|PF1|＝2|PF2|，|PF1|⊥|PF2|，求此双曲线的方程．1解： |F1F2|＝10，∴2c＝10，c＝5.又 |PF1|－|PF2|＝2a，且|PF1|＝2|PF2|，∴|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.在Rt△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，∴4a2＋16a2＝100.∴a2＝5.则b2＝c2－a2＝20.故所求的双曲线方程为－＝1.二、综合能力提升1．已知F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a分别为3和5时，点P的轨迹分别为()A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条射线D．双曲线的一支和一条直线解析：选C依题意，得|F1F2|＝10.当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝2a＝6<|F1F2|，可知点P的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝2a＝10＝|F1F2|，可知点P的轨迹为以F2为端点的一条射线．故选C.2．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选A对于椭圆C1， 长轴长2a1＝26，∴a1＝13，又离心率e1＝＝，∴c1＝5.由题意知曲线C2为双曲线，且与椭圆C1共焦点，∴c2＝5，又2a2＝8，∴a2＝4，b2＝＝3.又焦点在x轴上，故双曲线C2的标准方程为－＝1.故选A.3．已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P到F1的距离为12，则点P到F2的距离为________．解析：设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线的左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，所以|PF2|＝22；当点P在双曲线的右支上时，|PF1|－|PF2|＝10，所以|PF2|＝2.答案：22或24．过双曲线－＝1的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为________．解析：因为双曲线方程为－＝1，所以c＝＝13，设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，则F1(－13,0)，F2(13,0)．设过F1且垂直于x轴的直线l交双曲线于A(－13，y)(y>0)，则＝－1＝，所以y＝，即|AF1|＝.又|AF2|－|AF1|＝2a＝24，所以|AF2|＝24＋＝.即所求距离分别为，.答案：，5．已知△ABC的两个顶点A，B分别为...
