第6讲空间向量的运算及应用[基础达标]1.已知三棱锥OABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示MN，则MN等于()A．(b＋c－a)B．(a＋b＋c)C．(a－b＋c)D．(c－a－b)解析：选D.MN＝MA＋AO＋ON＝(c－a－b)．2．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a、b、c三向量共面，则实数λ等于()A．B．9C．D．解析：选D.由题意知存在实数x，y使得c＝xa＋yb，即(7，5，λ)＝x(2，－1，3)＋y(－1，4，－2)，由此得方程组解得x＝，y＝，所以λ＝－＝.3．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O为坐标原点，OA＋λOB与OB的夹角为120°，则λ的值为()A．±B．C．－D．±解析：选C.OA＋λOB＝(1，－λ，λ)，cos120°＝＝－，得λ＝±.经检验λ＝不合题意，舍去，所以λ＝－.4．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1，2，…，8)是上底面上其余的八个点，则AB·APi(i＝1，2，…，8)的不同值的个数为()A．1B．2C．4D．8解析：选A.由题图知，AB与上底面垂直，因此AB⊥BPi(i＝1，2，…，8)，AB·APi＝|AB||APi|cos∠BAPi＝|AB|·|AB|＝1(i＝1，2，…，8)．故选A.5．正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()1A．B．C．D．解析：选D.不妨设正方体的棱长为1，如图，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，平面ACD1的法向量为DB1＝(1，1，1)，又BB1＝(0，0，1)，所以cos〈DB1，BB1〉＝＝＝，所以BB1与平面ACD1所成角的余弦值为＝.6．如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP，AE〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为()A．(1，1，1)B．C．D．(1，1，2)解析：选A.设P(0，0，z)，依题意知A(2，0，0)，B(2，2，0)，则E，于是DP＝(0，0，z)，AE＝，cos〈DP，AE〉＝＝＝.解得z＝±2，由题图知z＝2，故E(1，1，1)．7．在空间直角坐标系中，以点A(4，1，9)，B(10，－1，6)，C(x，4，3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为__________．解析：由题意知AB＝(6，－2，－3)，AC＝(x－4，3，－6)．又AB·AC＝0，|AB|＝|AC|，可得x＝2.答案：28．已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．解析：由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10.即2a·c＋b·c＝－10，又因为a·c＝4，所以b·c＝－18，所以cos〈b，c〉＝＝＝－，所以〈b，c〉＝120°，所以两直线的夹角为60°.答案：60°9．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4，2，0)，AP＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正确的是________．解析：因为AB·AP＝0，AD·AP＝0，所以AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．又AB与AD不平行，2所以AP是平面ABCD的法向量，则③正确．因为BD＝AD－AB＝(2，3，4)，AP＝(－1，2，－1)，所以BD与AP不平行，故④错．答案：①②③10．在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，C1N＝λNC，且AB1⊥MN，则λ的值为________．解析：如图所示，取B1C1的中点P，连接MP，以MC，MA，MP的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，因为底面边长为1，侧棱长为2，则A，B1(－，0，2)，C，C1，M(0，0，0)，设N，因为C1N＝λNC，所以N，所以AB1＝，MN＝.又因为AB1⊥MN，所以AB1·MN＝0.所以－＋＝0，所以λ＝15.答案：1511．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点．求证：FC1∥平面ADE.证明：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)．FC1＝(0，2，1)，DA＝(2，0，0)，AE＝(0，2，1)．设n＝(x，y，z)是平面ADE的一个法向量，则即解得令z＝2，则y＝－1，所以n＝(0，－1，2)．因为FC1·n＝－2＋2＝0.所以FC1⊥n.因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.12．如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB3＝AA1＝.证明：A1C⊥平面BB1D1D.证明：由题设...
