高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列前n项和的示解练习 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP免费

2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列前n项和的示解A级基础巩固一、选择题1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为()A．63B．64C．127D．128解析：设数列{an}的公比为q(q＞0)，则有a5＝a1q4＝16，所以q＝2，数列的前7项和为S7＝＝＝127.答案：C2．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于()A．1B．0C．1或0D．－1解析：因为Sn－Sn－1＝an，又{Sn}是等差数列，所以an为定值，即数列{an}为常数列，所以q＝＝1.答案：A3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是()A．190B．191C．192D．193解析：设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7，由＝381，解得a1＝192.答案：C4．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()A.B.C.D.解析：设{an}的公比为q，q＞0，且a＝1，所以a3＝1.因为S3＝7，所以a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，即6q2－q－1＝0，解得q＝或q＝－(舍去)，a1＝＝4.所以S5＝＝8×＝.答案：B5．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为()A.或5B.或5C.D.解析：若q＝1，则由9S3＝S6，得9×3a1＝6a1，则a1＝0，不满足题意，故q≠1，由9S3＝S6，得9×＝，解得q＝2或q＝1(舍去)，故an＝a1qn－1＝2n－1，＝，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为＝.答案：C二、填空题6．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．解析：等差数列{an}的前n项和为Sn＝na1＋d，所以S1，S2，S4分别为a1，2a1－1，4a1－6.1因为S1，S2，S4成等比数列，所以(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，解方程得a1＝－.答案：－7．设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________．解析：法一：a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15.法二：因为a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|，数列{|an|}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为＝15.答案：158．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝4，则公比q＝________；a1＋a2＋…＋an＝________．解析：由等比数列的性质知q3＝＝8，所以q＝2所以an＝×2n－1＝2n－2，所以a1＋a2＋…＋an＝＝2n－1－.答案：22n－1－三、解答题9．已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得解得故数列{an}的通项公式为an＝2－n.(2)设数列的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋＋…＋，故S1＝1，＝＋＋…＋.所以，当n＞1时，＝a1＋＋…＋－＝1－－＝1－－＝，所以Sn＝，综上，数列的前n项和Sn＝.10．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13.(1)求{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列的前n项和Sn.解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则依题意有q＞0且解得所以an＝1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝qn－1＝2n－1.(2)＝，Sn＝1＋＋＋…＋＋，①2Sn＝2＋3＋＋…＋＋，②②－①，得Sn＝2＋2＋＋＋…＋－＝2＋2×－＝2＋2·－＝6－.B级能力提升21．在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝2n－1(n∈N*)，则a＋a＋…＋a等于()A．(2n－1)2B.(2n－1)2C．4n－1D.(4n－1)解析：a1＋a2＋…＋an＝2n－1，即Sn＝2n－1，则Sn－1＝2n－1－1(n≥2)，则an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，所以an＝2n－1，a＝4n－1，所以a＋a＋…＋a＝(4n－1)．答案：D2．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________．解析：因为a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且数列{an}是递增的等比数列，所以a1＝1，a3＝4，q＝2，所以S6＝＝63.答案：633．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r，所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1·(b－1)，由于b＞0且b≠1，所以a≥2时，{an}是以b为公比的等比数列，又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，＝b，即＝b，解得r＝－1.(2)由(1)知，n∈N*，an＝(b－1)bn－1＝2n－1，所以bn＝＝.Tn＝＋＋＋…＋，Tn＝＋＋…＋＋，两式相减得Tn＝＋＋＋…＋－＝－－，所以Tn＝－－＝－.3