高中数学 第四章 导数及其应用 4.2 导数的运算 4.2.3 导数的运算法则分层训练 湘教版选修2-2-湘教版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

4．2.3导数的运算法则一、基础达标1．设y＝－2exsinx，则y′等于()A．－2excosxB．－2exsinxC．2exsinxD．－2ex(sinx＋cosx)答案D解析y′＝－2(exsinx＋excosx)＝－2ex(sinx＋cosx)．2．当函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝()A．aB．±aC．－aD．a2答案B解析y′＝′＝＝，由x－a2＝0得x0＝±a.3．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于()A．2B.C．－D．－2答案D解析∵y＝＝1＋，∴y′＝－.∴y′|x＝3＝－.∴－a＝2，即a＝－2.4．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为()A．(－2，－8)B．(－1，－1)或(1,1)C．(2,8)D.答案B解析y′＝3x2，∵k＝3，∴3x2＝3，∴x＝±1，则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．答案4解析依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，f′(1)＝g′(1)＋2＝4.6．已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________.答案1解析由于f′(0)是一常数，所以f′(x)＝x2＋3f′(0)，令x＝0，则f′(0)＝0，∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.7．求下列函数的导数：(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝x－sincos.1解(1)法一y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.法二∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.(2)∵y＝x－sincos＝x－sinx，∴y′＝x′－′＝1－cosx.二、能力提升8．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为()A．－B.C．－D.答案B解析y′＝＝，故y′|＝，∴曲线在点M处的切线的斜率为.9．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A．[0，)B．[，)C．(，]D．[，π)答案D解析y′＝－＝－，设t＝ex∈(0，＋∞)，则y′＝－＝－，∵t＋≥2，∴y′∈[－1,0)，α∈[，π)．10．(2013·江西)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.答案2解析令t＝ex，则x＝lnt，所以函数为f(t)＝lnt＋t，即f(x)＝lnx＋x，所以f′(x)＝＋1，即f′(1)＝＋1＝2.11．求过点(2,0)且与曲线y＝x3相切的直线方程．解点(2,0)不在曲线y＝x3上，可令切点坐标为(x0，x)．由题意，所求直线方程的斜率k＝＝y′|x＝x0＝3x，即＝3x，解得x0＝0或x0＝3.当x0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k＝0，则所求直线方程是y＝0；当x0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k＝27，则所求直线方程是y－27＝27(x－3)，即27x－y－54＝0.综上，所求的直线方程为y＝0或27x－y－54＝0.12．已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．解设切点为(x0，y0)，则由导数定义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－3，∴切线方程为y＝(3x－3)x＋16，又切点(x0，y0)在切线上，∴y0＝3(x－1)x0＋16，即x－3x0＝3(x－1)x0＋16，解得x0＝－2，∴切线方程为9x－y＋16＝0.三、探究与创新213．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解由7x－4y－12＝0得y＝x－3.当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②由①，②得解之得故f(x)＝x－.(2)证明设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.3