高中数学 第一章 解三角形 1.1.2.2 余弦定理（2）练习（含解析）新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

第4课时余弦定理(2)知识点一利用余弦定理判定三角形的形状1．若1＋cosA＝，则三角形的形状为()A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形答案A解析由1＋cosA＝，得cosA＝，根据余弦定理，得＝，则c2＝a2＋b2．所以三角形为直角三角形．故选A．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc．若sinBsinC＝sin2A，则△ABC的形状是()A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形答案C解析由b2＋c2＝a2＋bc及余弦定理，知A＝，又由sinBsinC＝sin2A及正弦定理，得bc＝a2＝b2＋c2－bc，所以(b－c)2＝0，即b＝c，所以△ABC为有一个内角为的等腰三角形，即为等边三角形．故选C．3．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则此三角形一定是()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形答案B解析由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac，又 b2＝ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c． B＝60°，∴A＝C＝60°．故△ABC是等边三角形．4．在△ABC中，acos(B＋C)＋bcos(A＋C)＝ccos(A＋B)，试判断△ABC的形状．解 A＋B＋C＝π，∴原式可化为acosA＋bcosB＝ccosC．由余弦定理可知：cosA＝，cosB＝，cosC＝，∴a·＋b·＝c·，整理，得(a2－b2)2＝c4，即a2－b2＝±c2，∴a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2，故△ABC一定为直角三角形．知识点二正弦定理与余弦定理的综合应用15．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝()A．B．C．D．答案C解析由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos＝2＋9－2××3×＝5．∴AC＝．由正弦定理，得＝，∴sinA＝＝＝．6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b·cosA＝ccosA＋acosC．(1)求角A的大小；(2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值．解(1)根据正弦定理，得2bcosA＝ccosA＋acosC⇒2cosAsinB＝cosAsinC＋sinAcosC＝sin(A＋C)＝sinB， sinB≠0，∴cosA＝， 0°＜A＜180°，∴A＝60°．(2)由余弦定理，得7＝a2＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，把b＋c＝4代入，得bc＝3，故bc＝3．知识点三余弦定理与其他知识的综合应用7．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝，则AB·AC等于()A．－B．－C．D．答案D解析 AB·AC＝|AB||AC|cos〈AB，AC〉，由向量模的定义和余弦定理可得出|AB|＝3，|AC|＝2，cos〈AB，AC〉＝＝．故AB·AC＝3×2×＝．8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，lgb＋lg＝lgsinA＝－1g，则△ABC为()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形答案D解析因为lgb＋lg＝lgsinA＝－lg，所以lg＝lgsinA＝lg，所以c＝b，且sinA＝．因为A为锐角，所以A＝，所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋2b2－2b×b×＝b2，所以a＝b，所以B＝，所以C＝，故△ABC为等腰直角三角形．故选D．9．已知向量m＝(cosωx，sinωx)，n＝(cosωx，2cosωx－sinωx)，ω>0，函数f(x)＝m·n＋|m|，且函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为．(1)求ω的值；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，f(A)＝2，c＝2，S△ABC＝，求a的值．解(1)f(x)＝m·n＋|m|＝cos2ωx＋2·sinωxcosωx－sin2ωx＋1＝cos2ωx＋sin2ωx＋1＝2sin2ωx＋＋1．由题意，知T＝π，又 T＝＝π，∴ω＝1．2(2) f(x)＝2sin2x＋＋1，∴f(A)＝2sin2A＋＋1＝2，sin2A＋＝． 0