【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分学业分层测评苏教版选修2-2(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．当n→＋∞时，表示成定积分为________．【解析】根据定积分的几何意义，当n→＋∞时，表示曲线y＝sinx，x＝0，x＝π，y＝0所围成图形的面积，所以表示成定积分为sinxdx.【答案】sinxdx2.dx＝________.【解析】定积分dx等于直线y＝与x＝0，x＝2，y＝0围成三角形的面积S＝×2×1＝1.【答案】13．已知xdx＝2，则xdx＝________.【解析】xdx表示直线y＝x，x＝0，x＝t，y＝0所围成图形的面积，而表示直线y＝x，x＝0，x＝－t，y＝0所围成图形面积的相反数，所以xdx＝－2.【答案】－24．若cosxdx＝1，则由x＝0，x＝π，f(x)＝sinx及x轴围成的图形的面积为________．【解析】由正弦函数与余弦函数的图象，知f(x)＝sinx，x∈0，π]的图象与x轴围成的图形的面积，等于g(x)＝cosx，x∈的图象与x轴围成的图形的面积的2倍，所以答案应为2.【答案】25．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：(1)S＝________(图152(1))；(2)S＝________(图152(2))；(3)S＝________(图152(3))．(图1)(图2)图(3)图1521【答案】6．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为__________．【解析】∵把区间0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值S＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.【答案】557．物体运动的速度和时间的函数关系式为v(t)＝2t(t的单位：h，v的单位：km/h)，近似计算在区间2,8]内物体运动的路程时，把区间6等分，则过剩近似值(每个ξi均取值为小区间的右端点)为__________km.【解析】以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得过剩近似值为s＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66(km)．【答案】668．汽车以v＝(3t＋2)m/s做变速直线运动时，第1s到第2s间的1s内经过的路程是________m.【解析】由题意知，所求路程为直线x＝1，x＝2，y＝0与y＝3x＋2所围成的直角梯形的面积，故S＝×(5＋8)×1＝6.5(m)．【答案】6.5二、解答题9．(2016·深圳高二检测)有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？【解】在时间区间0,2]上等间隔地插入n－1个分点，将它分成n个小区间，记第i个小区间为(i＝1,2，…，n)，其长度为Δt＝－＝.每个时间段上行驶的路程记为Δsi(i＝1,2，…，n)，则显然有s＝si，取ξi＝(i＝1,2，…，n)．于是Δsi≈Δs′i＝v·Δt＝·，sn＝si＝·＋4＝8＋4.从而得到s的近似值s≈sn.令n→∞，则Sn→12，故S＝12所以这段时间内行驶的路程为12km.10．利用定积分的几何意义，求dx的值．【解】y＝(－1≤x≤1)表示圆x2＋y2＝1在x轴上方的半圆(含圆与x轴的交点)．根据定积分的几何意义，知dx表示由曲线y＝与直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积，所以dx＝S半圆＝π.能力提升]1．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1围成的曲边梯形，将区间0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.2【解析】分别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求所有小矩形面积之和．S1＝(02＋1＋0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1)×0.4＝3.92；S2＝(0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1＋22＋1)×0.4＝5.52.【答案】3.925.522．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2，在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为________．【解析】将区间0，a]n等分，记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，此区间长为，用小矩形面积2·近似代替相应的小曲边梯形的面积，则2·＝·(12＋22＋…＋n2)＝近似地等于速度曲线v(t)＝t2与直线t＝0，t＝a，t轴围成的曲边梯形的面积．依题意得当n→＋∞时，→9，∴＝9，解得a＝3.【答案】3【解析】当x∈(0，π]时，sinx≥0；当x∈时，sinx<0.∴由定积分的性质可得【答案】③4．计算dx＝________.【解析】dx表示以原点为圆心，4为半径的圆的面积，∴dx＝π·42＝4π.【答案】4π5．已知函数f(x)＝求f(x)在区间－2,2π]上的积分．【解】由定积分的几何意义知x3dx＝0，2xdx＝＝π2－4，cosxdx＝0.3由定积分的性质得f(x)dx＝x3dx＋2xdx＋cosxdx＝π2－4.4
