高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程作业2 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学试题VIP免费

2.1.1椭圆及其标准方程[A.基础达标]1．设α∈，方程＋＝1是表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是()A.B.C.D.解析：选C.由题意可得：0＜sinα＜cosα，又因为α∈，所以α∈.2．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，点M在该椭圆上，且MF1·MF2＝0，则点M到x轴的距离为()A.B.C.D.解析：选C.因为MF1·MF2＝0，所以MF1⊥MF2，故|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝12，①|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，②，由①②得|MF1|·|MF2|＝2.故点M到x轴的距离为＝＝.3．已知周长为16的△ABC的两顶点与椭圆M的两个焦点重合，另一个顶点恰好在椭圆M上，则下列椭圆中符合椭圆M条件的是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选A.不妨设B、C分别为椭圆M的两个焦点，点A在椭圆上，故|AB|＋|AC|＝2a，|BC|＝2c，|AB|＋|AC|＋|BC|＝2a＋2c＝16，即a＋c＝8.对于A：a＋c＝8，满足要求；对于B：a＋c＝5＋4＝9，排除B.对于C：a＋c＝4＋，排除C；对于D：a＋c＝3＋，排除D.故选A.4．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且b＝2的椭圆方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选D.9x2＋4y2＝36的焦点坐标为(0，±)．对于A：焦点坐标为(±，0)，b＝2，排除A；对于B：焦点坐标为(0，±)，b＝4，排除B；对于C：焦点坐标为(0，±5)，b＝2，排除C.选项D符合要求．5.如图，椭圆＋＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为()A．8B．2C．4D.解析：选C.由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，又|MF1|＝2，所以|MF2|＝8，由于N为MF1的中点，所以ON为△F1MF2的中位线，所以|ON|＝|MF2|＝4.6．已知两定点F1(－1，0)，F2(1，0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是________．解析：由题意得：|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>|F1F2|＝2，所以动点P是以F1、F2为焦点的椭圆，且a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，轨迹方程为＋＝1.答案：＋＝17．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，设P(x0，y0)为椭圆上一点，当∠F1PF2为直角时，点P的横坐标x0＝________．解析：由椭圆的方程为＋y2＝1，得c＝2，所以F1(－2，0)，F2(2，0)，PF1＝(－2－x0，－y0)，PF2＝(2－x0，－y0)．因为∠F1PF2为直角，所以PF1·PF2＝0，即x＋y＝4，①又＋y＝1，②①②联立消去y得x＝，所以x0＝±.答案：±8．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使1得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是________．解析：如图，依题意：|PF1|＋|PF2|＝2a(a＞0是常数)．又因为|PQ|＝|PF2|，所以|PF1|＋|PQ|＝2a，即|QF1|＝2a.所以动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆．答案：以F1为圆心，2a为半径的圆9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的三边分别是a，b，c，且|BC|＝2，求满足b，a，c成等差数列且c>a>b的顶点A的轨迹．解：由已知条件可得b＋c＝2a，则|AC|＋|AB|＝2|BC|＝4>|BC|，结合椭圆的定义知点A在以B，C为焦点的一个椭圆上，且椭圆的焦距为2.以BC所在的直线为x轴，BC的中点为原点O，建立平面直角坐标系，如图所示．设顶点A所在的椭圆方程为＋＝1(m>n>0)，则m＝2，n2＝22－12＝3，从而椭圆方程为＋＝1.又c>a>b且A是△ABC的顶点，结合图形，易知x>0，y≠0.故顶点A的轨迹是椭圆＋＝1的右半部分除去与x轴，y轴的交点．10．设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点，(1)若PF1⊥PF2，且|PF1|>|PF2|，求的值．(2)当∠F1PF2为钝角时，求|PF2|的取值范围．解：(1)因为PF1⊥PF2，所以∠F1PF2为直角，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2.所以解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以＝2.(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝6.因为∠F1PF2为钝角，所以cos∠F1PF2<0.又因为cos∠F1PF2＝<0，所以r＋r<20，所以r1r2>8，所以(6－r2)r2>8，所以2