课时跟踪训练(九)空间向量与平行关系1．已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则()A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝2．已知l∥π，且l的方向向量为(2，m,1)，平面π的法向量为，则m＝()A．－8B．－5C．5D．83．若两个不同平面π1，π2的法向量分别为n1＝(1,2，－2)，n2＝(－3，－6,6)，则()A．π1∥π2B．π1⊥π2C．π1，π2相交但不垂直D．以上均不正确4．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是()A．－B．6C．－6D.5．已知两直线l1与l2的方向向量分别为v1＝(1，－3，－2)，v2＝(－3,9,6)，则l1与l2的位置关系是________．6．若平面π1的一个法向量为n1＝(－3，y,2)，平面π2的一个法向量为n2＝(6，－2，z)，且π1∥π2，则y＋z＝________.7.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．证明：直线MN∥平面OCD.8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．1答案1．选D∵l1∥l2，设a＝λb，∴(2,4,5)＝λ(3，x，y)，∴x＝6，y＝.2．选A∵l∥π，∴直线l的方向向量与平面π的法向量垂直．∴2＋＋2＝0，m＝－8.3．选A∵n1＝－n2，∴n1∥n2，∴π1∥π2.4．选B∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行，∴＝＝，∴λ＝6.5．解析：∵v2＝－3v1，∴l1∥l2或l1与l2重合．答案：平行或重合6．解析：∵π1∥π2，∴n1∥n2.∴＝＝.∴y＝1，z＝－4.∴y＋z＝－3.答案：－37．证明：作AP⊥CD于点P.如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A(0,0,0)，B(1,0,0)，P，D，O(0，0,2)，M(0,0,1)，N.MN�＝，OP�＝，OD�＝.设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·OP�＝0，n·OD�＝0.即取z＝，解得n＝(0,4，)．2∵MN�·n＝(1－，，－1)·(0,4，)＝0，∴MN�⊥n.又MN⃘平面OCD，∴MN∥平面OCD.8．解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则A1(0,0,1)，B(1,0,0)，B1(1,0,1)，E，1BA�＝(－1,0,1)，BE�＝.设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n·1BA�＝0，n·BE�＝0，得所以x＝z，y＝z.取z＝2，得n＝(2,1,2)．设棱C1D1上存在点F(t,1,1)(0≤t≤1)满足条件，又B1(1,0,1)，所以1BF�＝(t－1,1,0)．而B1F⃘平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE⇔1BF�·n＝0⇔(t－1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t－1)＋1＝0⇔t＝⇔F为C1D1的中点．这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.3
