数值分析课程设计报告学生姓名学生学号所在班级指导教师一、课程设计名称成绩评定函数逼近与曲线拟合二、课程设计目的及规定实验目的：⑴学会用最小二乘法求拟合数据的多项式，并应用算法于实际问题。⑵学会基本的矩阵运算，注意点乘和叉乘的区别。实验规定：⑴编写程序用最小二乘法求拟合数据的多项式，并求平方误差，做出离散函数（xi,yi）和拟合函数的图形；⑵用MATLAB的内部函数polyfit求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差，并用MATLAB的内部函数plot作出其图形，并与（1）成果进行比较。三、课程设计中的算法描述用最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的数据点，并不规定这条曲线精确的通过这些点，而是拟合曲线无限逼近离散点所形成的数据曲线。思路分析：从整体上考虑近似函数p(x)同所给数据点（xi,yi）误差ri=p(xi)−yi的大小，惯用的办法有三种：一是误差ri=p(xi)−yi绝对值的最大值max0≤i≤m|ri|，即误差向量的无穷范数；二是误差绝对值的和∑i=0m|ri|，即误差向量的1范数；三是误差平方和∑i=0mri2的算术平方根，即类似于误差向量的2范数。前两种办法简朴、自然，但不便于微分运算，后一种办法相称于考虑2范数的平方，本次采用第三种误差分析方案。算法的具体推导过程：1.设拟合多项式为：y=a0+a1x+a2x1+⋯+akxk2.给点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和：R2=∑i=1n[yi−(a0+a1x+⋯+akxik)]23.为了求得到符合条件的a的值，对等式右边求ai偏导数，因而我们得到了：−2∑i=1n[y−(a0+a1x+⋯+akxik)]x=0−2∑i=1n[y−(a0+a1x+⋯+akxik)]=0⋯⋯−2∑i=1n[y−(a0+a1x+⋯+akxik)]xk=04.将等式左边进行一次简化，然后应当能够得到下面的等式a0n+a1∑i=1nxi+⋯+ak∑i=1nxika0∑i=1nxi+a1∑i=1nxi2+⋯+∑i=1nxik+1a0∑i=1nxik+a1∑i=1nxik+1+⋯+ak∑i=1nxi2k5.把这些等式表达成矩阵的形式，就能够得到下面的矩阵：[n∑i=1nxi⋯∑i=1nxik∑i=1nxi∑i=1nxi2⋯∑i=1nxik+1⋮⋮⋱⋮∑i=1nxik∑i=1nxik+1⋯∑i=1nxi2k][a0a1⋮ak]=[∑i=1nyi∑i=1nyi⋮∑i=1nyi]6.将这个范德蒙得矩阵化简后得到[1x1⋯x1k1x2⋯x2k⋮⋮⋱⋮1xn⋯xnk][a0a1⋮ak]=[y1y2⋮yn]7.由于X∗A=Y,那么A=Y/X,计算得到系数矩阵，同时就得到了拟合曲线。四、课程设计内容⑴实验环境：MATLAB⑵实验内容：给定的数据点（xi,yi）xi00.50.60.70.80.91.0yi11.751.962.192.442.713.001)用最小二乘法求拟合数据的多项式；2)用MATLAB内部函数polyfit函数进行拟合。⑶实验环节1)首先根据表格中给定的数据，用MATLAB软件画出数据的散点图（图1）。2)观察散点图的变化趋势，近似于二次函数。则用二次多项式进行拟合，取一组基函数x0,x1,x2,并令f(x)=a1x2+a2x+a3，其中ak是待定系数(k=1,2,3)。3)用MATLAB程序作线性最小二乘法的多项式拟合，求待定系数。算法实当代码以下：x=[00.50.60.70.80.91.0];y=[11.751.962.192.442.713.00];R=[(x.^2)'x'ones(7,1)];A=R\y'4)用MATLAB程序计算平均误差。算法实当代码以下：y1=[11.751.962.192.442.713.00];x=[00.50.60.70.80.91.0];输入初始数据点根据原始数据绘制散点图分析数据点变化趋势，拟定拟合多项式用最小二乘法求系数矩阵，拟定多项式用所求的多项式，计算误差绘制拟合曲线y=x.^2+x+1;z=(y-y1).^2;sum(z)5)作出拟合曲线和数据图形（图2）。6)用MATLAB的内部函数polyfit求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差。算法实当代码以下：x=[00.50.60.70.80.91.0];y=[11.751.962.192.442.713.00];A=polyfit(x,y,2);%二次多形式拟合%z=polyval(A,x);Ad=sum((z-y).^2)7）绘制使用polyfit函数实现的拟合图形。（图3）五、程序流程图图5-1用最小二乘法求多项式拟合曲线流程图输入初始数据点调用polyfit函数，拟定多形式的系数调用plot函数进行绘图调用polyval函数，进行多项式求值图5-2用polyfit函数求多项式拟合曲线流程图六、实验成果图6-1表中数据的散点图图6-2.最小二乘法实现的拟合曲线第1问系数为A=1.00001.00001.0000则多项式的方程为y=x2+x+1平方误差和为ans=1.9722e-031图6-3.polyfit函数实现的拟合函数第2问系数为A=1.00001.00001.0000则多项式的方程为y=x2...
