高中数学 第二章223第一课时等差数列的前n项和精品课件 苏教版必修5 课件VIP专享VIP免费

2．2.3等差数列的前n项和第一课时•课标要求：1.掌握等差数列前n项和公式及推导方法．•2．能熟练运用等差数列的前n项和公式解决等差数列的有关问题．•重点难点：本节重点：等差数列的前n项和公式及应用．•本节难点：公式的推导方法．课标定位基础知识梳理等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的前n项和为Sn，则，(1)用倒序相加法得：Sn＝___________.(2)把an＝a1＋(n－1)d代入Sn＝na1＋an2得Sn＝______________＝____________.na1＋an2na1＋nn－12dd2n2＋(a1－d2)n课堂互动讲练题型一题型一前n项和公式的基本运算首项a1和公差d是等差数列的基本元素，其余的量均可与它们联系，故当条件与结论的关系不明显时，可先依据题目条件，列方程组，求出a1和d，再解决其他问题，这是求Sn的基本方法．同时{Sn}本身也可看成一个数列，有着它自身的特点，故也可从其自身规律寻找突破方法．当d＝0时，Sn＝na1，当d≠0时，Sn＝d2n2＋(a1－d2)n，故Sn可统一设为Sn＝an2＋bn(a，b为常数)的形式．根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化、优化解题过程．•分别按等差数列{an}的下列要求计算：•(1)已知a1005＝，求S2009；•(2)已知d＝2，S100＝10000，求an.•【分析】由题目可获取以下主要信息：•①a1＋a2009＝2a1005；②an＝a1＋(n－1)d.•解答本题要紧扣等差数列的前n项和公式的两种形式，利用等差数列的性质解题．例例11【解】(1) a1＋a2009＝2a1005，∴S2009＝2009a1＋a20092＝2009a1005＝2009×141＝49.(2)由S100＝100a1＋100×100－12×2＝10000，解得a1＝1.∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.•【点评】一般地，对于等差数列{an}的五个基本量a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个量，通过方程组可以求得另外两个量，即“知三求二”，对此类问题，注意利用等差数列的性质以简化计算过程．1．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，S7＝7，S15＝75，Tn为数列{Snn}的前n项和，求Tn.解：设等差数列{an}的公差为d， S7＝7，S15＝75，∴7a1＋21d＝7，15a1＋15×7d＝75，变式训练变式训练解得a1＝－2，d＝1.∴Snn＝a1＋n－12d＝－52＋n2，∴Sn＋1n＋1－Snn＝12，∴{Snn}是首项为－2，公差为12的等差数列，∴Tn＝14n2－94n.•对于首尾相加的可以求和的数列，可考虑采用倒序相加法．题型二题型二倒序相加法设函数y＝f(x)＝2x2x＋2图像上两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，P点为△OP1P2的重心(O为原点)，且P点的横坐标为13.(1)求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个值；(2)若Sn＝f(1n)＋f(2n)＋…＋f(n－1n)＋f(nn)，n∈N*，求Sn.例例22•【分析】先由重心坐标公式求得x1＋x2＝1，再进行f(x1)＋f(x2)值的计算，在此基础上利用倒序求和求解．•【点评】第一问是函数求值问题，在x1＋x2＝1的条件下，求f(x1)＋f(x2)，关键是指数式的运算．第二问是数列求和问题，求和的基本原则是化简，其方法有两种：一种是利用等差数列前n项和公式求解；另一种是消元法，如倒序相加、错位相减、裂项相消等．变式训练变式训练题型三题型三an与Sn的关系an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2，别忘了讨论n＝1的情况．数列{an}中，a1＝1，an＝2S2n2Sn－1(n≥2)，求an.例例33•【分析】已知an与Sn的关系，求an一般有两种解题思路，一是用n＋1和n－1代替式子中的n，得到一个结构相同的式子，两式作差消Sn，再由{an}的递推公式判断用哪个方法求an.另一思路是用Sn－Sn－1来代替an，先求Sn，再由Sn求an.【解】当n≥2时，将Sn－Sn－1＝an代入式子an＝2S2n2Sn－1，得Sn－Sn－1＝2S2n2Sn－1.整理，得Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1.两边同除以Sn·Sn－1得：1Sn－1Sn－1＝2(n≥2)．∴数列{1Sn}是以1为首项，2为公差的等差数列．则1Sn＝1S1＋2(n－1)＝2n－1.∴Sn＝12n－1(S1＝a1＝1也适合此式)．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－22n－12n－3.当n＝1时，a1＝1不适合上式，∴an＝1，n＝1，－22n－12n－3，n≥2.【点评】本例an与Sn的关系式中，只含有一项an.所以很快能想到要用Sn－Sn－1表示an.3．已知数列{an}的前n项和Sn＝－32n2＋2052n，求数列{|an|}的前...