2.3.4平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β图形语言【思考】性质定理若去掉“一个平面内(a⊂α)”,定理是否成立?提示:不一定成立,如图a⊥α,这时也有a⊥l,但a与β不垂直.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)两个平面垂直,其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直.()(2)若α⊥β,则α内的直线必垂直于β内的无数条直线.()(3)如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ.()(4)若两个平面互相垂直,一条直线与一个平面垂直,那么这条直线在另一个平面内.()【提示】(1)×.不一定.只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线才能垂直于另一个平面.(2)√.若设α∩β=l,aα,bβ,b⊥⊂⊂l,则a⊥b,故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线.(3)√.设α∩γ=m,β∩γ=n,在平面γ内取一点P不在m,n上,过P作直线a,b,使a⊥m,b⊥n.因为γ⊥α,a⊥m,则a⊥α.所以a⊥l,同理有b⊥l.又a∩b=P,lγ,⊄所以l⊥γ.故正确.(4)×.若α⊥β,l⊥α,在β内作a与α,β的交线垂直,则a⊥α,所以a∥l.所以l∥β或lβ,⊂即直线l与平面β平行或在平面β内.2.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC,AD=CD,则BD与CC1()A.平行B.相交C.异面且垂直D.异面且不垂直【解析】选C.如图所示,在四边形ABCD中,因为AB=BC,AD=CD.所以BD⊥AC.因为平面AA1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C,所以BD⊥CC1.3.如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,则线段MN的长等于________.【解析】取CD的中点G,连接MG,NG.因为ABCD,DCEF为正方形,且边长为2,所以MG⊥CD,MG=2,NG=.因为平面ABCD⊥平面DCEF,平面ABCD∩平面DCEF=CD,所以MG⊥平面DCEF,由于GN⊂平面CDEF,可得MG⊥NG,所以MN=答案:222MGNG6.＋＝6类型一用面面垂直的性质定理解证明问题【典例】1.(2019·枣庄高一检测)已知互不重合的直线a,b,互不重合的平面α,β,给出下列四个命题,正确命题的个数是()①若a∥α,a∥β,α∩β=b,则a∥b;②若α⊥β,a⊥α,b⊥β,则a⊥b;③若α⊥β,α⊥γ,β∩γ=a,则a⊥α;④若α∥β,a∥α,则a∥β.A.1B.2C.3D.42.(2018·北京高考改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD.(1)求证:DC⊥平面PAD.(2)求证:平面PAB⊥平面PCD.【思维·引】1.根据线面平行的性质判断①;根据面面垂直的性质定理判断②③;根据面面平行的性质判断④.2.(1)依据平面PAD⊥平面ABCD和AD⊥DC证明;(2)转化为证明PA⊥平面PCD.【解析】1.选C.依题意,当a∥α,a∥β,α∩β=b时,根据线面平行的性质可得a∥b,故①正确;当α⊥β,a⊥α时,a∥β或a⊂β,又b⊥β,所以a⊥b,故②正确;当α⊥β,α⊥γ,β∩γ=a,则交线a⊥α;故③正确;当α∥β,a∥α时,a∥β或a⊂β,故④错误.正确的有3个.2.(1)因为底面ABCD是矩形,所以AD⊥DC,又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,且DC⊂平面ABCD,所以DC⊥平面PAD.(2)由(1)得DC⊥平面PAD.又因为PA⊂平面PAD,所以DC⊥PA,又因为PA⊥PD,DC∩PD=D,所以PA⊥平面PCD,又PA⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD.【类题·通】1.应用面面垂直的性质定理的一个意识和三个注意点(1)一个意识若所给题目中有面面垂直的条件,一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直.(2)三个注意点:①两个平面垂直,是前提条件;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于它们的交线.2.证明线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理;(2)面面垂直的性质定理;(3)若a∥b,a⊥α,则b⊥α(a,b为直线,α为平面);(4)若a⊥α,α∥β,则a⊥β(a为直线,α,β为平面).【习练·破】(2019·芜湖高一检测)如图,在三棱锥P-ABC中,已知△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,△PAC是直角三角形,∠PAC=90°,平面PAC⊥平面ABC.求证:平面PAB⊥平面PBC.【证明】因为平面PAC⊥平面ABC,且PA⊥AC,所以PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC,又BC⊥BA,所以BC⊥平面PAB,所以平面PAB⊥平面PBC.【加练...
