第一节变化率与导数1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，称其为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或f′(x)．(2)导函数当x变化时，f′(x)称为f(x)的导函数，则f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx，注意f′(x)及f′(x0)的区别，f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数f′(x)在点x0处的函数值．导数研究在x＝x0处及其附近函数的改变量Δy与自变量的改变量Δx之比的极限，它是一个局部性的概念，若limΔx→0ΔyΔx存在，则函数y＝f(x)在x＝x0处就有导数，否则就没有导数．2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，过点P的切线方程为：y－y0＝f′(x0)(x－x0)．注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是．3．基本初等函数的导数公式(1)c′＝0(c为常数)；(2)(xα)′＝αxα－1(α∈R)；(3)(sinx)′＝cos_x；(4)(cosx)′＝－sin_x；(5)(tanx)′＝1cos2x(6)(cotx)′＝－1sin2x(7)(ex)′＝ex；(ax)′＝axln_a；(8)(lnx)′＝1x；(logax)′＝1xlna.4．导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)f(x)g(x)′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0)．关于导数的加减法则，可推广到有限多个的情况，如[f(x)＋g(x)＋h(x)]′＝f′(x)＋g′(x)＋h′(x)等．5．复合函数的导数设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y′＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处也有导数，且y′x＝y′u·u′x或写作f′x(φ(x))＝f′(u)·φ′(x)．(1)一个函数可以看成不同的两个函数复合而成，利用复合函数求导法则求导，要注意适当选择中间变量；(2)应用复合函数求导法则时，要注意弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆．1．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝3x－4B．y＝－3x＋2C．y＝－4x＋3D．y＝4x－5【解析】由y′＝3x2－6x在点(1，－1)的值为－3，故切线方程为y＋1＝－3(x－1)．【答案】B2．(2008年宁夏卷)设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝()A．e2B．eC.D．ln2【解析】由已知有f′(x)＝lnx＋x·＝lnx＋1，所以f′(x0)＝2⇒lnx0＋1＝2⇒x0＝e.故选B.【答案】B3．函数y＝xcosx－sinx的导数为()A．xsinxB．－xsinxC．xcosxD．－xcosx【解析】y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝x′cosx＋x(cosx)′－cosx＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.【答案】B4．一质点运动方程为S＝t2，则质点在t＝4时的瞬时速度为________．【解析】v＝S′|t＝4＝2t|t＝4＝8.【答案】85．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为________．【解析】设P(x0，y0)(x0＜0)，由题意知：y′|x＝x0＝3x02－10＝2，∴x02＝4.∴x0＝－2，∴y0＝15.∴P点的坐标为(－2,15)．【答案】(－2,15)一质点运动的方程为s＝8－3t2.(1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t＝1时的瞬时速度(用定义及求导两种方法)．【思路点拨】(1)平均速度为.(2)t＝1时的瞬时速度即s＝8－3t2在t＝1处的导数值．【解析】(1) s＝8－3t2，∴Δs＝8－3(1＋Δt)2－(8－3×12)＝－6Δt－3(Δt)2，v＝ΔsΔt＝－6－3Δt.(2)定义法：质点在t＝1时的瞬时速度v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(－6－3Δt)＝－6.求导法：质点在t时刻的瞬时速度v＝s′(t)＝(8－3t2)′＝－6t.当t＝1时，v＝－6×1＝－6.求下列函数的导数：(1)y＝x2sinx；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝lnxx2＋1；(4)y＝sin32x.【解析】(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx；(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln3·ex＋3xex－2xln2；＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2；(3)y′＝(lnx)′(x2＋1)－lnx·(x2＋1)′(x2＋1)2＝1x·(x2＋1)－lnx·2x(x2＋1)2＝x2＋1－2x2·lnxx(x2＋1)2；(4)y′＝3(sin2x...
