第二节平面向量基本定理及坐标表示考纲点击1.了解平面向量的基本定理及其意义．2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．热点提示1.向量的坐标运算及用坐标表示平面向量共线的条件是高考考查的热点，常以选择、填空题的形式出现，为中、低档题．2.向量的坐标运算常与三角，解析几何等知识结合，在知识交汇点处命题，以解答题的形式呈现，属中档题.1．两个向量的夹角(1)定义已知两个_____向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．(2)范围向量夹角θ的范围是_______________，a与b同向时，夹角θ＝___；a与b反向时，夹角θ＝_____.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是_____，则a与b垂直，记作a⊥b.非零0°≤θ≤180°0°180°90°【提示】不正确.求两向量的夹角时，两向量起点应相同，向量a与b的夹角为π－∠ABC.2．平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任意向量a，___________一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．不共线有且只有(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个___________的向量，叫做把向量正交分解．(3)平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对______叫做向量a的坐标，记作a＝________，其中___叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．x互相垂直(x，y)(x，y)②设OA→＝xi＋yj，则向量OA→的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即若OA→＝(x，y)，则A点坐标为________，反之亦成立．(O是坐标原点)(x，y)3．平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算向量aba＋ba－bλa坐标(x1，y1)(x2，y2)————————————————————————————————————(x1＋x2，，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(2)向量坐标的求法已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝_______________，即一个向量的坐标等于_________________________________．(x2－x1，y2－y1)该向量终点的坐标减去始点的坐标(3)平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a与b共线⇔a＝λb⇔_______________.x1y2－x2y1＝01．已知a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，则x等于()A．9B．6C．5D．3【解析】 a∥b，∴12－2x＝0，∴x＝6【答案】B2．设AB→＝(2,3)，BC→＝(m，n)，CD→＝(－1,4)，则DA→等于()A．(1＋m,7＋n)B．(－1－m，－7－n)C．(1－m,7－n)D．(－1＋m，－7＋n)【解析】AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(1＋m,7＋n)，则DA→＝－AD→＝(－1－m，－7－n)．【答案】B3．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与AB→同向的单位向量是()A.35，－45B.－35，45C.－45，35D.45，－35【解析】 A(4,1)，B(7，－3)，AB→＝(3，－4)，∴与AB→同向的单位向量为AB→|AB→|＝35，－45.【答案】A4．下列各组向量：①e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)；②e1＝(3,5)，e2＝(6,10)；③e1＝(2，－3)，e2＝12，－34.其中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是________(填序号)．【解析】②中e2＝2e1，③中e1＝4e2，故②，③中e1，e2共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底．【答案】①5．已知a＝(2,3)，b＝(－1,2)，则a＋b所在直线的斜率为________．【解析】a＋b＝(1,5)，则a＋b所在直线的斜率为5.【答案】5平面向量基本定理及其应用如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AM→＝c，AN→＝d，试用c，d表示AB→，AD→.【思路点拨】直接用c，d表示AB→，AD→有难度，可换一个角度，由AB→，AD→表示AN→，AM→，进而解方程组可求AB→，AD→.【自主解答】方法一：设AB→＝a，AD→＝b，则a＝AN→＋NB→＝d＋－12b①b＝AM→＋MD→＝c＋－12a②将②代入...
