§2.1.2等差数列的性质知识回顾等差数列—几何意义—通项公式—符号语言—定义AAAAAAAAAAAAA每一项与它前一项的差如果一个数列从第2项起，等于同一个常数.......【说明】AAA①数列{an}为等差数列的判断方法：②公差是唯一的常数。an=a1+(n-1)d等差数列各项对应的点都在同一条直线上.)2(11ndaadaannnn或或an=a1+(n-1)d)2(11ndaadaannnn或或an=kn+b导思考2：（1）在等差数列{an}中，a3＋a8与a5＋a6有什么关系？（2）一般地，在等差数列{an}中，什么条件下有？（2）m＋n=p＋q（1）a3＋a8=a5＋a6思考1：若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{2＋an}是等差数列吗？数列{2an}呢？如是，公差分别是多少？am+an=ap+aq1、都是等差数列，公差分别是dd和2d2d思(1)构造性：若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列：①{c＋an}(c为任一常数)是公差为__的等差数列;②{c·an}(c为任一常数)是公差为___的等差数列;③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为___的等差数列；④数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为___的等差数列；cdd2dλd等差数列的性质⑤下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为___的等差数列．⑥若{an}、{bn}分别是公差为d1、d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p、q是常数)是公差为_________的等差数列；(2)下标和相等性若{an}是有穷等差数列，则与首、末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an＋1－i＝…;mdpd1＋qd2例1.已知{an}为等差数列，若a10=20，d=-1，求a3?a3=a10+(3-10)da3=27议例2.在等差数列{an}中(1)若a59=70，a80=112，求a101(2)若ap=q，aq=p(p≠q)，求ap+qd=2,a101=154d=-1,ap+q=0议例3.在等差数列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20例题分析(2)已知a3+a11=10，求a6+a7+a8分析：由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10分析：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知a3+a11=10∴a7=5∴a6+a7+a8=a7+（a6+a8）=15议例4.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12，求此三数.等差数列设项方法提示：设这三个数分别为a-da，a+d，则3a=12，a2-d2=126，4，2或2，4，6议②上面的命题中的等式两边有相同数目的项，如a1+a2=a3成立吗？【说明】3.更一般的情形，an=，d=总结归纳1.{an}为等差数列2.a、b、c成等差数列an+1-an=dan+1=an+dan=a1+(n-1)dan=kn+b（k、b为常数）am+(n-m)dmnaamnb为a、c的等差中项AA2cab2b=a+c4.在等差数列{an}中，由m+n=p+qam+an=ap+aq注意：①上面的命题的逆命题是不一定成立的；5.在等差数列{an}中a1+ana2+an-1a3+an-2…===达标检测（1）若成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40，求这四个数.解：设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题意可知：a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，a－da＋d＝40，解得a=13/2,d=3/2,所以这四个数分别是：2,5,8,11检(2)已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.分析：a4+a5+a6+a7=56a4+a7=28①又a4a7=187②，由①②解得a4=11a7=17a4=17a7=11或∴d=_2或2,从而a14=_3或31检
