4.2对数与对数函数4.2.1对数运算4.2.2对数运算法则第四章指数函数、对数函数与幂函数学习目标1.理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化.2.掌握对数的运算法则，并能正确地利用对数的运算法则进行对数的运算.3.掌握换底公式，会用换底公式将一个对数转化成自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.重点：理解对数的概念及其运算性质.难点：换底公式及对数式的变形.知识梳理在表达式ab＝N（a>0且a≠1，N∈（0，+∞））中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为，记作b＝logaN，其中a称为对数的，N称为对数的.一、对数的概念以a为底N的对数底数真数对数与指数间的关系：当a>0，a≠1时，ab＝Nb＝logaN.对数的基本性质：（1）负数和0没有对数；（2）loga1＝，logaa＝.对数恒等式：=，=.01Nb常用对数与自然对数以10为底的对数称为常用对数，即log10N是.为了简便起见，常用对数的表示中，通常把底10略去不写，并把“log”写成“lg”，即把log10N简写为lgN.以无理数e＝2.71828…为底的对数，以e为底的对数称为，自然对数logeN通常简写为lnN.常用对数自然对数二、对数的运算对数的运算法则如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么（1）loga（MN）＝logaMlogaN；（2）＝logaMlogaN；（3）logaMn＝nlogaM（nR∈）.对数换底公式：logab＝（a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1）.+-例1一对数的概念常考题型将下列对数式化为指数式或将指数式化为对数式：（1）54＝625；（2）＝-3；（3）＝16；（4）lg1000＝3.【解题提示】利用当a>0，a≠1时，ax＝Nx＝logaN进行互化.【解】（1） 54＝625，∴log5625＝4.（2） ＝，∴＝8.（3） ＝16，∴＝.（4） lg1000＝3，∴103＝1000.1.D若loga2＝m，loga5＝n，则a3m+n＝（）A.11B.13C.30D.402.求下列各式中x的值.（1）log8x＝；（2）logx27＝；（3）log2（log5x）＝0；（4）log3（lgx）＝1.变式训练2.【解】（1）由log8x＝，得x＝＝＝2-2＝，即x＝.（2）由logx27＝，得＝27，即＝33，故x＝＝34＝81.（3）由log2（log5x）＝0，得log5x＝1，故x＝51＝5.（4）由log3（lgx）＝1，得lgx＝3，故x＝103＝1000.例2二对数式的化简与求值计算下列各式的值：（1）；（2）log3×log5.对数式化简的常用方法和技巧（1）对于同底数的对数式，化简的常用方法为：①“收”，即运用对数的运算法则，将同底对数的和（差）“收”成积（商）的对数；②“拆”，即运用对数的运算法则，将对数式“拆”成几个对数的和（差）.（2）对常用对数的化简要创设情境，要充分利用“lg5+lg2＝1”来解题.（3）对含有多重对数符号的对数，应从内向外逐层化简.（4）当真数是形如“±”的式子时，常用的方法是“先平方，后开方”或“取倒数”.解题归纳计算下列各式的值：（1）4lg2+3lg5-；（2）；（3）2+；（4）log2（1++）+log2（1+-）；（5）lg（+）.变式训练三换底公式的应用例3【解析】利用换底公式化简求值时应注意的问题（1）利用换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底数问题转化为同底数问题进行化简、计算和证明.（2）换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底数，要由具体已知条件确定，一般换成以10为底的常用对数.解题归纳1.［2019·四川广元高一期末］（1）若xlog32＝1，求2x+2-x的值；（2）计算（log43+log23）×（log32+log92）.变式训练2.A四有附加条件的代数式求值问题例4【解析】【答案】解决有附加条件的对数式求值问题的方法技巧解带有附加条件的代数式的求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简、转化，原则上是化为同底的对数，以便利用对数的运算法则，要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化解题.解题归纳［2019·上海闵行区高一调研］已知log32＝m，则log3218＝（用m表示）.1.2.［2019·安徽宿州高一期末］若log34·log48·log8m＝，则m的值为.𝑚+25𝑚13变式训练五对数方程的求解例5对数方程的一般解法解对数方程的实质是转化，通过指数式与对数式的互化、换底公式、换元等手段，将对数方程转化为代数方程进行求解.根据目前的知识我们只能求解两种简单的对数方程：（1）等号两边为底数相同的对数式，则...
