•2．2双曲线•1．知识与技能•通过本节学习，了解双曲线的定义、标准方程，并会根据已知条件求双曲线的标准方程．•2．过程与方法•通过双曲线定义及标准方程的推导过程，培养学生分析、类比、归纳与探索能力．•3．情感、态度与价值观•通过本节的学习，再次体会数形结合的思想、坐标法，启发学生在研究问题时，抓住问题实质，严谨细致思考，规范写出解答，体会运动变化、对立统一的思想．•本节重点：双曲线的定义及其标准方程．•本节难点：双曲线标准方程的推导．•1．对于双曲线定义的理解，要抓住双曲线上的点所要满足的条件，即双曲线上点的几何性质，可以类比椭圆的定义来理解．•2．在理解双曲线的定义时，要注意到对“定值”的限定．即定值大于零且小于|F1F2|.这样就能避免忽略两种特殊情况，即：“当定值等于|F1F2|时，轨迹是两条射线；当定值大于|F1F2|时，点不存在．”•3．类比椭圆标准方程的推导方法，建立适当坐标系，推导出双曲线的标准方程，但要注意在椭圆标准方程推导中，是令b2＝a2－c2，而在双曲线标准方程的推导过程中，是令b2＝c2－a2.•1．在平面内到两个定点F1、F2距离之差的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做．这两个定点叫做双曲线的，两焦点之间的距离叫做双曲线的．•2．在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是；若2a>|F1F2|，则动点的轨迹是．•3．双曲线定义中应注意关键词“”，若去掉定义中“”三个字，动点轨迹只能是．双曲线焦点焦距两条射线不存在绝对值绝对值双曲线一支•4．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程(a>0，b>0)(a>0，b>0)焦点坐标a，b，c的关系c2＝F1(－C,0)，F2(C,0)F1(0，－C)，F2(0，C)a2＋b2•[解析]因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为[例1]已知双曲线的两个焦点分别为F1(－10,0)，F2(10,0)，并且经过点(35，－4)，求此双曲线的标准方程．x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．由题意知c＝10，从而将双曲线的标准方程化为x2100－b2－y2b2＝1.将点(35，－4)代入并简化整理，得b2－39b2－1600＝0，解得b2＝64或b2＝－25(舍去)．故所求的双曲线的标准方程为x236－y264＝1.求与椭圆x216＋y225＝1共焦点，且过点(－2，10)的双曲线方程．[解析]由x216＋y225＝1，知F1(0，－3)，F2(0,3)．设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，则有10a2－4b2＝1，a2＋b2＝9，∴a2＝5，b2＝4.∴所求的双曲线的方程为y25－x24＝1.[例2]已知双曲线过P1(－2，325)和P2(437，4)两点，求双曲线的标准方程．[解析]解法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)． P1、P2在双曲线上，∴(－2)2a2－(325)2b2＝1(437)2a2－42b2＝1，解得1a2＝－1161b2＝－19(不合题意，舍去)．当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)． P1、P2在双曲线上，∴(325)2a2－4b2＝142a2－(437)2b2＝1解得1a2＝191b2＝116，即a2＝9，b2＝16.∴所求双曲线方程为y29－x216＝1.解法二：设所求双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(m<0)． P1和P2两点在双曲线上，∴4m＋454n＝1，199×7m＋16n＝1，•[说明]在焦点不确定的情况下求标准方程，解法二更简单些．解得m＝－116，n＝19.∴所求双曲线的标准方程为y29－x216＝1.双曲线x29－y216＝1上一点M的横坐标为5，求点M到左焦点的距离．[解析]由于x29－y216＝1的右焦点为F(5,0)，将xM＝5代入双曲线方程可得|yM|＝163，即为双曲线上点M到右焦点的距离，故利用双曲线的定义可求得点M到左焦点的距离为2a＋|yM|＝6＋163＝343.•[例3]已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1与圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．•[解析]如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，•|MC2|－|BC2|＝|MB|.• |MA|＝|MB|，•∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，•∴|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.•这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2.根据...
