第三章不等式3．2一元二次不等式•课标要求：1.掌握一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的密切联系．•2．运用数形结合思想，熟练掌握一元二次不等式的解法．•重点难点：：本节重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式，并求得其解集．•本节难点：一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．课标定位基础知识梳理1．一元二次不等式(1)定义：只含有________未知数，并且未知数最高次数是_____的不等式叫做一元二次不等式．(2)一元二次不等式的一般形式：ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≥0或ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0.注意：一元二次不等式的二次项系数不能为0，任何一元二次不等式经过同解变形都可以变成“一般式”的形式．一个2•2．二次函数、二次方程、二次不等式间的关系3.不等式解法(1)一元二次不等式的解法：①图象法：利用一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系，通过求一元二次方程的根，结合二次函数的图象求解．②通过因式分解，利用符号法则或上述相关结论求解．说明：若一元二次不等式的二次项系数a＜0，可先运用不等式的性质将其化为正数，再解不等式．(2)简单分式不等式的解法：分式不等式一般转化为整式不等式来解，对于不等式组的解集，一定注意最后取的是交集．课堂互动讲练题型一题型一一元二次不等式的解法求解一元二次不等式的一般步骤是：①通过对不等式变形，使二次项系数大于零．②计算对应方程的判别式．③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．④利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．例例11解下列不等式：(1)－2x2＋x－6＜0；(2)－x2＋6x－9≥0；(3)x(7－x)＞0;(4)13－9x2＜0.【分析】解答本题可先将二次项系数化为正，再求对应方程的根，并根据根的情况画出草图，观察图象写出解集．【解】(1)原不等式可化为2x2－x＋6＞0， 方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6＜0，∴函数y＝2x2－x＋6与x轴无交点(如图所示)．观察图象可得原不等式的解集为R.(2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，∴原不等式的解集为{x|x＝3}．(3)原不等式可化为x(x－7)＜0，方程x(x－7)＝0的两根是x1＝0，x2＝7，函数y＝x(x－7)的图象是开口向上的抛物线，且与x轴有两个交点(0,0)，(7,0)(如图所示)．观察图象，可得原不等式的解集为{x|0＜x＜7}．(4)原不等式可化为9x2－13＞0，即x2－139＞0，∴(x＋133)(x－133)＞0， 方程(x＋133)(x－133)＝0的两根是x1＝－133，x2＝133，函数y＝(x＋133)(x－133)的图象是开口向上的抛物线，且与x轴有两个交点(－133，0)，(133，0)(如图所示)．∴观察图象可得原不等式的解集为{x|x＜－133或x＞133}．【点评】解一元二次不等式时，要将二次不等式以及与其对应的二次方程、二次函数的图象联系起来，真正做到“数形结合”．1．解不等式：－4(2x2－2x＋1)＜x(x－4)．解：整理原不等式，得9x2－12x＋4＞0. Δ＝144－4×9×4＝0，∴方程9x2－12x＋4＝0的解是x1＝x2＝23，∴原不等式的解集是xx≠23.变式训练变式训练•解含参数的不等式关键是规范解题步骤并深刻理解每一步的解法原理，这样才能知道何时分类，如何分类，并做到不重不漏．题型二题型二含参数的一元二次不等式的解法例例22解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R)．【分析】解答本题可通过因式分解，结合二次函数图象分类讨论求解．【解】原不等式可化为(x－a)(x－a2)＞0.当a＜0时，a＜a2，解集为{x|x＜a或x＞a2}；当a＝0时，a2＝a，解集为{x|x≠0}；当0＜a＜1时，a2＜a，解集为{x|x＜a2或x＞a}；当a＝1时，a2＝a，解集为{x|x≠1}；当a＞1时，a＜a2，解集为{x|x＜a或x>a2}【点评】含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏．若二次项系数含有参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；其次，对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．综上所述，当a＜0或a＞1时，解集为{x|x＜a或x＞a2}；当0＜a＜1时，解集为{x|x...
