掌握抛物线的定义、标准方程第40课时抛物线的定义和标准方程1．抛物线定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的，定直线l叫做抛物线的.焦点准线图形方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)焦点(－，0)准线x＝－x＝2．抛物线的标准方程图形方程x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)焦点(0，)(0，－)准线y＝－y＝1．设F是抛物线E的焦点，经过F的直线与抛物线E交于P，Q两点，以PQ为直径的圆与抛物线E的准线的位置关系是()A．相交B．相离C．相切D．相交、相切、相离都有可能解析：过P、Q分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M、N，可知PF＝PM，QF＝QN，取PQ的中点O及MN中点H，可知OH＝(PM＋QN)＝PQ，∴圆与其准线相切，∴选C.答案：C2．在抛物线y2＝2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为()A.B.1C．2D．4解析：由抛物线定义可知：＋4＝5，∴p＝2.答案：C3．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分为A1、B1，则∠A1FB1等于()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如图所示，由定义知AA1＝AF，BB1＝BF，∴∠BB1F＝∠BFB1，∠AA1F＝∠AFA1，∠A1FB1＝180°－(∠B1A1F＋∠A1B1F)，∴2∠A1FB1＝180°，∴∠A1FB1＝90°，此题可用特殊值法，即以AB垂直x轴时为例(详解略)．答案：D4．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为()答案：B要注意点F不在直线l上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线．利用抛物线定义可推导抛物线的标准方程．应注意抛物线的标准方程有四种不同的形式．【例1】如图所示，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|＝，|AN|＝3，且|NB|＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．解答：以直线l1为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点．设曲线C的方程为y2＝2px(p＞0)(xA≤x≤xB，y＞0)，其中xA、xB分别为A、B的横坐标，p＝|MN|，所以M(－，0)、N(，0)．由|AM|＝，|AN|＝3，得2pxA＝17，①(xA－)2＋2pxA＝9，②变式1.求与直线l：x＝－1相切，且与圆C：(x－2)2＋y2＝1相外切的动圆圆心P的轨迹方程．解答：设动圆圆心P(x，y)，动圆半径为r.由已知条件知因此P点轨迹为以F(2,0)为焦点，l：x＝－2为准线的抛物线，又＝2.∴动圆圆心P的轨迹方程为y2＝8x.求抛物线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹法，标准方程有四种形式，在设方程形式之前，首先要确定抛物线的开口方向．为避免开口不一定而分成y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0)两种情况求解的麻烦，可以设成y2＝mx或x2＝ny(m≠0，n≠0)，若m＞0，开口向右，m＜0开口向左，m有两解，则抛物线的标准方程有两个【例2】已知如图所示直线l过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，点A(－1,0)和点B(0,8)关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程．解答：设直线l的方程为y＝kx，抛物线C的方程为y2＝2px，p＞0设(a，b)关于y＝kx的对称点坐标为(x0，y0)，∴A(－1,0)，B(0,8)关于l对称点坐标为()，()，又A、B点在抛物线y2＝2px上，则①除以②整理得，k3＝(k2－1)3，即k2－k－1＝0.变式2.如图，已知抛物线y2＝2px(p＞0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线方程．解答：设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，则直线OB的方程为y＝－x，由得x＝0或x＝∴A点坐标为B点坐标为(2pk2，－2pk)，由|OA|＝1，|OB|＝8可得②÷①解方程组得k6＝64，即k2＝4.则p2＝又p＞0，则p＝，所求抛物线方程为y2＝x.可利用定义对曲线定性，由标准方程进行定量分析和研究．【例3】(原创题)如图，已知直线与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于D，且点D的坐标为(3，)．(1)求p的值；(2)若F为抛物线的焦点，M为抛物线上任一点，求|MD|＋|MF|的最小值．解答：(1)设由OA⊥OB，＋y1y2＝0，即y1y2＋4p2＝0.－8p＋4p2＝0，又p＞0，则p＝2.(2)由抛物线定义知|MD|＋|MF|的最小值为D点到抛物线y2＝4x准线的距离，又准线方程为x＝－...
