必考部分第六章不等式、推理与证明第六节直接证明与间接证明考纲点击1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程、特点．2．了解反证法的思考过程和特点.明考向理基础悟题型课时作业研知识梳理1．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论，这种证明方法叫做综合法．推理论证成立②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．(2)分析法①定义：从出发，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件.要证明的结论充分条件2．间接证明反证法：假设原命题，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有()A．2个B．3个C．4个D．5个基础自测解析：由综合法、分析法和反证法的推理过程可知，①②③④⑤都正确．答案：D2．要证明3＋7<25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A．综合法B．分析法C．反证法D．归纳法答案：B3．用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是()A．a，b都不能被5整除B．a，b都能被5整除C．a，b中有一个不能被5整除D．a，b中有一个能被5整除解析：由反证法的定义得，反设即否定结论．答案：A4．已知a，b，x均为正数，且a>b，则ba与b＋xa＋x的大小关系是__________．解析： b＋xa＋x－ba＝b＋xa－ba＋xa＋xa＝xa－baa＋x>0，∴b＋xa＋x>ba.答案：b＋xa＋x>ba5．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使ba＋ab≥2成立的条件的个数是__________．解析：要使ba＋ab≥2，只要ba>0且ab>0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．答案：3要点点拨1．直接法的应用综合法和分析法并用实际上是解决数学问题的一般思维方法．在解决数学问题的过程中，分析和综合往往是相互结合的，综合的过程离不开对问题的分析，分析的结果离不开综合的表达，因此在选择数学证明方法时，一定要有“综合性选取”的意识，要明确数学证明方法不是孤立的，是相互联系的，它们在同一个问题中往往交互使用．注意：利用分析法证题时，一定要严格按格式书写，否则容易出错．2．用反证法证题时必须注意的几个问题(1)必须正确地“否定结论”，这是运用反证法的前提；(2)在添加补充“假设”后，由原命题条件及结论的否定出发进行推导，整个推理过程必须准确无误，否则不是推不出矛盾，就是无法判断所得结论是否正确；(3)反证法虽然是解决数学问题的利器，但并非所有的证明题都适宜用反证法，宜用反证法证明的数学问题有这样几种类型：已知条件少看似简单的命题；结论是否定形式的命题；关于“存在性”及“唯一性”的命题；直接证明有困难的命题，等等．[例1]已知x＋y＋z＝1，求证：x2＋y2＋z2≥13.热点题型一综合法的应用[证明] x2＋y2≥2xy，x2＋z2≥2xz，y2＋z2≥2yz，∴2x2＋2y2＋2z2≥2xy＋2xz＋2yz，∴3x2＋3y2＋3z2≥x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz.∴3(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝1.∴x2＋y2＋z2≥13.[规律总结]综合法证不等式时，以基本不等式为基础，以不等式的性质为依据，进行推理论证．因此，关键是找到与要证结论相匹配的基本不等式及其不等式的性质．变式训练1若a、b、c是不全相等的正数，求证：lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2>lga＋lgb＋lgc.[证明] a，b，c∈(0，＋∞)，∴a＋b2≥ab>0，b＋c2≥bc>0，a＋c2≥ac>0.又上述三个不等式中等号不能同时成立．∴a＋b2·b＋c2·c＋a2>abc成立．上式两边同时取常用对数，得lga＋b2·b＋c2·c＋a2>lg(abc)，∴lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2>lga＋lgb＋lgc.[例2]已知△ABC三边a，b，c的倒数成等差数列，...
