第九节幂函数第九节幂函数教材面面观1．一般地，函数________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．注意幂函数中底数是自变量，幂指数是常数，这与指数函数是不同的，指数函数中底数是常数，幂指数是自变量．答案y＝xα2．5个最简单的幂函数的图象与性质：函数y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝1x定义域值域奇偶性单调性图象过定点答案函数y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝1x定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上递增在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增在R上递增在(0，＋∞)在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减图象过定点(1,1)考点串串讲1．幂函数的图象幂函数y＝xα，当α＝13，12，1,2,3时的图象见图(1)所示；当α＝－2，－1，－12时的图象见图(2)所示；2．幂函数的性质(1)α＞0时；①图象都通过点(0,0)，(1,1)；②在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0，＋∞)上是增函数．(2)α＜0时；①图象都通过点(1,1)；②在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0，＋∞)上是减函数．③在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近．3．比较大小利用幂函数和指数函数的单调性可以比较幂值的大小，具体方法如下：(1)当幂的底数相同，指数不同时，可以利用指数函数的单调性比较；(2)当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较；(3)当幂的底数和指数都不相同时，一种方法是作商，通过商与1的大小关系确定两个幂值的大小；另一种方法是运用媒介法，即找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小，从而确定两个幂值的大小；(4)比较多个幂值的大小一般采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系.典例对对碰题型一幂函数定义例1若幂函数y＝(m2＋3m－17)24xmm－的图象不过原点，求实数m的取值范围．解析依题意，得m2＋3m－17＝14m－m2＜0⇒m＝－6或m＝3，m＜0或m＞4.所以m＝－6.点评问题切入点幂函数的形式是y＝x2.因此m2＋3m－17＝1，另一方面图象不过原点，必有4m－m2＜0，从而求出m.熟练掌握并理解幂函数定义及性质是解题的关键.变式迁移1函数f(x)＝(m2－m－1)xmm223－－是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m的值为()A．2B．3C．4D．5答案A解析由题知m2－m－1＝1，得m＝－1或m＝2，再验证m2－2m－3＜0，得m＝2.故选A.题型二定义域问题例2求下列函数的定义域：(1)y=x35；(2)y=x14；(3)y=x23－；(4)y=x34－.解析把分数指数幂化为根式(1)y=x35＝5x3，其定义域为R；(2)y=x14＝4x，其定义域为[0，＋∞)；(3)y=x23－＝13x2，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；(4)y=x34－＝14x3，其定义域为(0，＋∞)．点评注意：①分母不能为0；②偶次根号下必须为非负实数；③零的零次方没有意义；④奇次根号下不作限制.变式迁移2设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为________．答案1,3解析定义域为R说明幂指数是正数且幂指数不等于12，是奇函数说明α＝1,3.题型三幂函数的图象例3已知点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，14)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有(1)f(x)＞g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)＜g(x)．分析首先要理解幂函数是形式定义，y＝xα，然后根据函数图象可以解决．解析设f(x)＝xα，因为点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，将点(2，2)代入f(x)＝xα中，得2＝(2)a，解得a＝2，∴f(x)＝x2；设g(x)＝xb， 点(－2，14)在幂函数g(x)的图象上，将点(－2，14)代入g(x)＝xb中，得14＝(－2)b，解得b＝－2，∴g(x)＝x－2.在同一坐标系下作出f(x)＝x2与g(x)＝x－2的图象如图所示．由图象可知：(1)当x＞1，或x＜－1时，f(x)＞g(x)；(2)当x＝1，或x＝－1时，f(x)＝g(x)；(3)当－1＜x＜1，且x≠0时，f(x)＜g(x)．点评(1)幂函数的一般形式是y＝xα(α为常数)，要求幂函数只要解出α即可；(2)函数的图象在解方程和不等式时有着重要的作用；(3)本题注意g(x)＝x－2的定义域是{x|x≠0}，即求幂函数的解析式问题的关键是...
