第2节空间几何体的表面积与体积(对应学生用书第95页)考纲展示考纲解读会计算球、柱、锥、台的表面积和体积(不要求记忆公式)．多与三视图相结合考查，难点是与球有关的组合体问题.1．多面体的表面积因为多面体的各面都是平面，所以多面体的表面积就是各个面的面积的和，即展开图的面积．2．旋转体的表面积质疑探究1：将圆柱、圆锥、圆台的侧面沿任意一条母线剪开铺平分别会得到什么图形？提示：矩形、扇形、扇环．3．几何体的体积(1)设棱(圆)柱的底面积为S，高为h，则体积V＝Sh.(2)设棱(圆)锥的底面积为S，高为h，则体积V＝13Sh.(3)设棱(圆)台的上、下底面面积分别为S′，S，高为h，则体积V＝13(S′＋S′S＋S)h.(4)设球半径为R，则球的体积V＝43πR3.质疑探究2：对于不规则的几何体应如何求其体积？提示：对于求一些不规则几何体的体积，常用割补的方法，转化为已知体积公式的几何体进行解决．1．圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是(A)(A)4πS(B)2πS(C)πS(D)233πS解析：由πr2＝S得圆柱的底面半径是Sπ，故侧面展开图的边长为2π·Sπ＝2πS，所以圆柱的侧面积是4πS，选A.2．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于(D)(A)22(B)233(C)423(D)433解析：正方体外接球的体积是323π，则外接球的半径R＝2，正方体的对角线的长为4，棱长等于433.故选D.3．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥DABC的体积为(D)(A)a36(B)a312(C)312a3(D)212a3解析：设正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，沿AC折起后，依题意得，当BD＝a时，BE⊥DE，所以DE⊥平面ABC，于是三棱锥DABC的高为DE＝22a，所以三棱锥DABC的体积V＝13·12a2·22a＝212a3.故选D.4．(2010年温州三模)某五面体的三视图(单位：cm)如图所示，其正视图、俯视图均是等腰直角三角形，侧视图是直角梯形，部分长度已标出，则此多面体的体积是________cm3.解析：根据多面体的三视图可以得到其直观图如图所示．于是，多面体的体积为V＝13S四边形BCDE·AB＝13×12×(12＋1)×1×1＝14(cm3)．答案：14(对应学生用书第96～97页)几何体的表面积【例1】(2010年高考安徽卷)一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为()(A)280(B)292(C)360(D)372思路点拨：三视图――→还原实物图――→转化直观图.解析：由三视图知，该几何体由上、下两个长方体组合而成．下面长方体的长、宽、高分别为8,10,2，上面长方体的长、宽、高分别为6,2,8，如图．∴S表＝2×10×8＋2×(8＋10)×2＋2×(2＋6)×8＝360.故选C.先将三视图还原为实物图，并画出直观图，然后将三视图中的条件转化到直观图中求解．变式探究11：(2009年高考海南、宁夏卷)一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为()(A)48＋122(B)48＋242(C)36＋122(D)36＋242解析：由三视图可知，该几何体是三棱锥DABC，可以看成一个正四棱锥的一半，如图所示．平面DBC⊥平面ABC，AC⊥AB，取BC中点M，DM⊥平面ABC，且DM＝4，取AC中点N，则MN＝3，且DN＝5，∴S表＝12×6×5＋12×6×5＋12×62×4＋12×6×6＝(48＋122)(cm2)．故选A.几何体的体积【例2】(2009年高考辽宁卷)正六棱锥PABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC体积之比为()(A)1∶1(B)1∶2(C)2∶1(D)3∶2思路点拨：①画出图形，认清两个三棱锥；②注意“中点”条件及“底面是正六边形”；③寻找“第三者(棱锥)”表示两三棱锥体积以求解．解析： G为PB中点，∴VPGAC＝VPABC－VGABC＝2VGABC－VGABC＝VGABC，又多边形ABCDEF是正六边形，∴S△ABC＝12S△ACD，∴VDGAC＝VGACD＝2VGABC，∴VDGAC∶VPGAC＝2∶1.故选C.求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V＝13Sh进行计算即可，常用到等积变换法和割补法．变式探究21：如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为()(A)23(B)33(C)43(D)32解析：如图，将几何体割成一个三棱柱和两个相同的三棱锥．在梯形ABFE中，易知BN＝32，∴S△BCN＝12BC·HN＝12×1×22＝24.故几何体体积为24×1＋2×13×24×12＝23，选A.【例3】如图所示，...
