等比数列的基本量运算【例1】已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1·a2·a3＝8，求an.131232131133131113···82514,41411242212.nnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaqaqaa－－因为＝，所以＝＝，所以＝，所以由得或，所以＝，＝或＝，＝，所以＝方【法或＝】：解析221312123133123111131784112222.2nnnnaaqaaqaaaaqqaaaaqaaqqaa－－因为＝，＝，所以，解得或，所以＝或＝方法：研究等差数列或等比数列，通常向首项a1，公差d(或公比q)转化．在a1，an，d(或q)，Sn，n五个基本量中，能“知三求二”．【变式练习1】等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝1，S8＝3.求：(1)等比数列{an}的公比q；(2)a17＋a18＋a19＋a20的值．4148184417181920441616411111131132.11··12126.11aqSqaqSqqqaaaaqaqaqqqq由，两式相除得＋＝，即＝＋＋＋＝＝＝【＝解析】等比数列的判定与证明【例2】设数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)．若an＋Sn＝n，(1)设cn＝an－1，求证：数列{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．11111111111(2)21(2)2(1)1(2)1(2)211211102nnnnnnnnnnnaSnaSnnaanaanccnaSacac－－－－－证明：由＋＝，得＋＝－，两式相减得－＝，即－＝－，所以＝．又由＋＝，解得＝，所以＝－＝－【解析，所以数列是】等比数列．11111111()()()222111()21()(2)21)21(.22nnnnnnnnnnnncacbaanbab－－由知＝－＝－，所以＝＋＝－，所以＝－＝．又＝＝适合上式，所以＝判断一个数列是等比数列的方法有定义法、等比中项法，或者从通项公式、求和公式的形式上判断．证明一个数列是等比数列的方法有定义法和等比中项法，注意等比数列中不能有任意一项是0.121(1)123.23nnnnnnnanSSaaaaaS数列的前项和为，且＝－．求，；证明：数列是等比数【变式练习】列；求与11111222211111111(1).3211(1).3411(1)(1),3311133211,221112()()()22211123[()1]32nnnnnnnnnnnnnnnaSaaaaSaaSaSaaaaaaaaS＋＋＋因为＝＝－，所以＝－又＋＝＝－，所以＝证明：因为＝－，所以＝－两式相减得＝－，即＝－，所以数列是首项为－公比为－的等比数列．由【解析】得＝＝－，＝－－．等比数列的公式及性质的综合应用514271472114156.132nnnaaaaaaSSSSSS已知递增的正项等比数列中，－＝，－＝试求，；【求证：，－，－成等例】比数列；34142nnnnnnnnnnbbabfncccanTT若数列满足：＝，在直角坐标系中，画出＝的图象；若数列满足：＝，数列的前项和为，试比较与的大小．42511421224111111.(1)15(1)6152125202.22.2(1)1511221.11nnnnnnnnaqaaaqaaaqqqqqqqqaqqaqaaqaaqSq－－设递增的正项等比数列的公比为因为－＝－＝，－＝－＝，两式相除，得＝，即－＋＝，解得＝或＝因为数列是递增的正项数列，所以＝将＝代入－＝，得＝，所以＝＝，＝＝【】－解析(2)证明：因为S7＝27－1，S14＝214－1，S21＝221－1，所以S14－S7＝27(27－1)，S21－S14＝214(27－1)，所以S7·(S21－S14)＝214·(27－1)2＝(S14－S7)2，所以S7，S14－S7，S21－S14成等比数列．(3)因为f(n)＝bn＝4an＝2n＋1(n∈N*)，所以bn＝f(n)的图象是函数f(x)＝2x＋1的图象上的一列孤立的点(图略)．1122111,21111+22211122(1)2.21241nnnnnnnncaTccc因为＝＝所以＝＋＋＋＝＝＝－本题主要考查三个方面：一是由两个给出的等式，解方程组求出等比数列的首项和公比，进而求得通项公式及前n项和公式，要求记牢公式和细心运算；二是用等比中项的方法证明三个数成等比数列．一般地，三个非零实数a、b、c满足b2＝ac，则a、b、c成等比数列；三是考查等比数列的图象．此题不难，但较全面地考查了等比数列的有关知识，对复习基础知识是很有帮助的．*11231121.1213.4nnnnnnnnnnnaaaanbaaabacnbcnSN＋在...
